自主招生筆試題
數學:(^表示指數位置)
1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整數部分為A,小數部分為B。求:(1)A、B(2)B+B^2+B^3+……+B^n(比較簡單)
2、求證:(1)當x+y=1,x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1)(我的思路:x^2n+y^2n>=2(x^(2n)*y^(2n)),當且僅當x=y=0.5時等號成立。當x=y,右式等于0.5^(2n-1),證明完畢。)
(2)a,b,c>0,任意將其排序為x,y,z。求證:a/x+b/y+c/z>=3(除了用競賽上講的排序不等式,沒想到其它做法)
3、問x^2+2px+2q=0,p、q是奇數時是否有有理數根,證明之。(我的思路:不存在。要證明不存在,只需證delta不是有理數,只需證判別式不是完全平方數。設p^2-2q=a^2,a是整數。則:p^2是奇數,2q是偶數,故a是奇數。P^2-a^2=(p+a)(p-a)=2p的兩個因式均為偶數,推出2p被4整除,與p是奇數矛盾,得證)
4、橢圓x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1,過A(-a,0)做l交橢圓與P交y軸于R,過O做l’平行于l交橢圓于Q.求證:AP、根二倍OQ、AR成等比數列
5、寫出所有公差是8的三項等差質數列。(我的思路:『3,11,19』證明:公差為8的.質數列,故不含偶數。滿足質數列,故不被3整除,首項可寫作3n+1或3n+2。當為3n+1,第二項是3n+9,和數,排除;當為3n+2,第三項為3n+18,和數,排除。故3,11,19是唯一滿足條件的數列)
6、sin t+cos t=1,z=cos t+i sin t(i是虛數單位),求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n(我的思路:貌似是應用復數的三角形式,好像要討論)
7、求證:a1,a2,a3,a4……a2n+1各項相等的充要條件是數列『an』滿足條件:從中任取2n項,均可分成各含n項的兩組使兩組各項之和相等(不會,不過不知道假設其不相等,按從大到小的順序排列之后有沒有辦法做)
8、四面體ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,求證:(1)其四個面都是銳角三角形(2)若同一面上三個二面角是a,b,c,cosa+cosb+cosc=1
9、三位數中任取一數,求:它是5的倍數的概率;它恰有兩位數字相等的概率
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