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有限元法在折疊紙盒強(qiáng)度分析中的應(yīng)用
摘 要：介紹了有限元分析的方法，討論了有限元法在折疊紙盒強(qiáng)度分析中的應(yīng)用，并且結(jié)合實(shí)際研究提出了有限元法在分析紙盒強(qiáng)度時(shí)要考慮的系列問題，同時(shí)為折疊紙盒強(qiáng)度的研究提供了一種新思路，推動(dòng)了計(jì)算機(jī)輔助分析在包裝工程方面的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：折疊紙盒 強(qiáng)度 等效模擬 有限元法
折疊紙盒憑借其原材料的環(huán)保性、可裝潢性、可印刷性等其他包裝不可替代的特性[1]，在物資流通和包裝行業(yè)深受人們的青睞，廣泛應(yīng)用于食品、藥品、化妝品、煙酒等日常生活用品的包裝。盡管折疊紙盒不是運(yùn)輸包裝容器，但作為一種“剛”性包裝容器而言，折疊紙盒也應(yīng)具有足夠的強(qiáng)度來(lái)抵抗變形和破壞的力量，才能對(duì)商品提供足夠的保護(hù)和便于銷售時(shí)對(duì)商品進(jìn)行陳列和展示[2]。
近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)折疊紙盒的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行了不少研究，王金林[3]論證了紙盒抗壓強(qiáng)度和白板紙挺度的關(guān)系;Grangard[4]通過大量的試驗(yàn)確定經(jīng)驗(yàn)公式BRDA式具有較高的相關(guān)性;余本農(nóng)[2]根據(jù)瓦楞紙箱抗壓強(qiáng)度公式推導(dǎo)出折疊紙盒的經(jīng)驗(yàn)公式;劉慧和張新昌[5-6]研究了管式折疊紙盒的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響，并且探討折疊紙盒抗壓強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式;袁毅等[7]研究鎖底結(jié)構(gòu)形式對(duì)紙盒承載力的影響。但以上學(xué)者的研究主要還停留在試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，由于試驗(yàn)的不穩(wěn)定性以及各種尺寸折疊紙盒試驗(yàn)樣品獲取困難，要想更好地掌握折疊紙盒承載能力和抗壓變形能力不能只停留在單純的試驗(yàn)研究上，應(yīng)該從原材料自身入手，結(jié)合理論與試驗(yàn)結(jié)論，借助于有限元分析技術(shù)來(lái)對(duì)折疊紙盒承載能力和抗壓變形能力進(jìn)行仿真模擬，不僅可以縮短實(shí)驗(yàn)周期，節(jié)約試驗(yàn)費(fèi)用，還能夠?qū)埡懈鱾�(gè)部位作研究和討論，更為直觀地得到折疊紙盒各個(gè)部位的力學(xué)狀態(tài)對(duì)包裝性能的影響。
一、有限元法的概念
有限單元法最初是20世紀(jì)50年代作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)的，并隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。作為計(jì)算機(jī)輔助工程CAE的一種，使用它大大提高了產(chǎn)品開發(fā)、設(shè)計(jì)、分析和制造的效率和產(chǎn)品性能[8]。
有限元法是一種基于變分法而發(fā)展起來(lái)的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法，其基本思想是把一個(gè)連續(xù)的介質(zhì)(或構(gòu)件)看成是由有限數(shù)目的單元組成的集合體，并在每一個(gè)單元中設(shè)定有限數(shù)量的節(jié)點(diǎn)，在各單元內(nèi)假定具有一定的理想化的位移和應(yīng)力分布模式，各單元間通過節(jié)點(diǎn)相連接，并藉以實(shí)現(xiàn)應(yīng)力的傳遞，各單元之間的交接面要求位移協(xié)調(diào)，利用彈性力學(xué)、固體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等力學(xué)中的變分原理去建立一套線性方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無(wú)限自由度問題轉(zhuǎn)化為離散域中的有限自由度問題，求解這些方程組，便可得到各單元和結(jié)點(diǎn)的位移、應(yīng)力。簡(jiǎn)言之，就是用較簡(jiǎn)單的問題代替復(fù)雜問題后再求解，即化整為零分析，積零為整研究。對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，分為前處理、處理和后處理3個(gè)階段，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。
二、有限元法在分析紙盒強(qiáng)度時(shí)要考慮的問題
2.1 研究參數(shù)的選取問題
根據(jù)理論分析可以得出，折疊紙盒的抗壓強(qiáng)度受到紙板原材料性能以及紙盒的結(jié)構(gòu)形式和結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。紙板原材料性能包括紙板的環(huán)壓強(qiáng)度、挺度、厚度和定量等，紙盒結(jié)構(gòu)形式包括管式、盤式、管盤式和非管非盤式等，紙盒結(jié)構(gòu)參數(shù)主要指的是紙盒的幾何尺寸長(zhǎng)、寬和高。對(duì)于研究紙盒強(qiáng)度問題，在單純的試驗(yàn)研究時(shí)首先是確定紙板原材料和紙盒結(jié)構(gòu)形式，然后對(duì)改變不同幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)的紙盒進(jìn)行測(cè)試，看紙盒是否滿足強(qiáng)度和剛度的要求。
其實(shí)，紙盒的結(jié)構(gòu)形式和原材料性能在很大程度上決定了紙盒的特點(diǎn)和工藝效果，提高紙板的挺度和環(huán)壓強(qiáng)度，優(yōu)化紙盒的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸都可以提高紙盒的抗壓強(qiáng)度，若是僅僅靠改變結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)研究紙盒強(qiáng)度性能，很難做到對(duì)紙盒抗壓強(qiáng)度的系統(tǒng)化研究。而且目前對(duì)紙盒強(qiáng)度的研究主要是基于“設(shè)計(jì)―盒樣―試驗(yàn)―修改”不斷循環(huán)的優(yōu)化過程模式，這樣既麻煩又浪費(fèi)大量成本。所以在基于有限元法研究紙盒各個(gè)參數(shù)的同時(shí)還應(yīng)該考慮紙盒結(jié)構(gòu)形式、原材料屬性以及還未進(jìn)行過研究的參數(shù)。另外，有限元模擬分析既可以針對(duì)某一參數(shù)變量的研究，也可以對(duì)多參數(shù)的交互作用進(jìn)行研究，我們可以根據(jù)需要靈活運(yùn)用。
2.2 有限元等效模擬分析問題
有限元法對(duì)紙盒壓縮過程的數(shù)值模擬就是利用一定的方法，將結(jié)構(gòu)和應(yīng)力變化的復(fù)雜過程近似模擬出來(lái)，它包括結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的計(jì)算和結(jié)構(gòu)非線性的計(jì)算兩部分。在有限元仿真模擬分析中，幾何實(shí)體模型的建立及簡(jiǎn)化、單元類型的選取、有限元網(wǎng)格模型的生成、約束條件的設(shè)置和載荷的施加都顯得尤為重要，它們都將直接影響到最終仿真計(jì)算結(jié)果的精確性。
(1)幾何模型建立及簡(jiǎn)化問題
折疊紙盒的受力壓縮過程是一個(gè)實(shí)際問題，考慮到壓縮的復(fù)雜性和多樣性對(duì)有限元分析計(jì)算結(jié)果的影響，必須對(duì)紙盒結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，把實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成計(jì)算模型，然后再利用有限元法來(lái)分析解決問題。為了方便有限元建模及計(jì)算，在不失真的前提下，對(duì)紙盒結(jié)構(gòu)可做如下的簡(jiǎn)化處理。
①鑒于紙板原材料的特性，將紙板等效成一塊正交各向異性的復(fù)合材料板;②忽略非承載件的影響，將紙盒的六個(gè)面板都看作是四邊簡(jiǎn)支板，忽略紙盒上的小結(jié)構(gòu)，如側(cè)板上的襟片以及插舌等;③認(rèn)為結(jié)構(gòu)中的粘合是理想粘合，忽略襟片粘合不牢所引起的強(qiáng)度弱化問題。
由于紙盒結(jié)構(gòu)規(guī)則，對(duì)紙盒結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理簡(jiǎn)化之后，可以選擇直接在有限元分析軟件ANSYS中采用“自底向上”法建立模型。需要注意的是，簡(jiǎn)化一些無(wú)關(guān)緊要的細(xì)節(jié)能使分析求解盡可能地高效，但是隨著襟片和其它一些細(xì)節(jié)被簡(jiǎn)化，在它們鄰近區(qū)域內(nèi)仿真模擬計(jì)算出的應(yīng)力值可能不準(zhǔn)確，導(dǎo)致該區(qū)域計(jì)算的結(jié)果不能反映真實(shí)應(yīng)力。因此，可以考慮采用在模型中添加該細(xì)節(jié)重新計(jì)算、子模型法和外插值法3種方案對(duì)局部應(yīng)力進(jìn)行考察。
(2)單元類型選擇問題
在有限元分析過程中，對(duì)于不同的問題，需要應(yīng)用到不同特性的單元，ANSYS單元庫(kù)中提供了超過250種的不同單元類型，每一種單元都是專門為有限元問題而設(shè)計(jì)的。因此，單元選擇不當(dāng)，直接影響到計(jì)算能否進(jìn)行和計(jì)算結(jié)果的精度。根據(jù)紙板原材料的結(jié)構(gòu)，由于紙板的厚度相對(duì)較薄，理論上可以將其簡(jiǎn)化為正交各向異性薄板。在薄板構(gòu)件的有限元分析中，一般采用殼體單元或者三維實(shí)體單元進(jìn)行分析。根據(jù)國(guó)內(nèi)外一些研究資料和有限元分析數(shù)據(jù)，采用殼體單元對(duì)紙板結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析可以獲得足夠精確的結(jié)果，并且采用殼體單元分析可以比采用實(shí)體單元分析節(jié)省大量的時(shí)間。
殼單元是為有效建立薄的結(jié)構(gòu)而特別設(shè)計(jì)的單元類型，它用于主尺寸不小于10倍厚度的結(jié)構(gòu)。ANSYS中提供了一系列殼體單元，常見的有：SHELL63、SHELL43、SHELL93、SHELL181等。其中SHELL181是一個(gè)4節(jié)點(diǎn)的四邊形薄板殼結(jié)構(gòu)，如圖1所示，它含有I、J、K、L四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)含有6個(gè)自由度，即沿X、Y、Z方向上的三個(gè)平動(dòng)自由度和繞X、Y、Z軸的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。它可以支持材料塑性、應(yīng)力剛化、大應(yīng)變，適用于從薄到中等厚度的薄板殼結(jié)構(gòu)。因此，根據(jù)紙板本身特性和紙盒壓縮的實(shí)際過程，為了獲得更精確的模擬數(shù)據(jù)，建議選擇SHELL181單元類型進(jìn)行分析。
(3)網(wǎng)格劃分問題
ANSYS的運(yùn)算最終是通過有限單元法進(jìn)行，因此對(duì)建立好的幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分是ANSYS分析的一個(gè)重要內(nèi)容。網(wǎng)格劃分直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算速度，甚至?xí)驗(yàn)榫W(wǎng)格劃分不合理而導(dǎo)致計(jì)算不收斂。目前對(duì)于網(wǎng)格劃分，有兩種劃分方式：自由網(wǎng)格劃分和映射網(wǎng)格劃分，這兩種網(wǎng)格劃分方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。自由網(wǎng)格劃分適合于初學(xué)者使用，劃分耗時(shí)較少，而映射網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果的精度一般要高于自由網(wǎng)格的計(jì)算精度。充分考慮到紙盒各部位的結(jié)構(gòu)，可以采用自由網(wǎng)格劃分和映射網(wǎng)格劃分相結(jié)合的方法。對(duì)紙盒面板結(jié)構(gòu)使用自由網(wǎng)格劃分，在可能出現(xiàn)應(yīng)力集中的位置或擬定的重點(diǎn)考察位置采用映射網(wǎng)格劃分，使之能以較高的精度得到這些位置的應(yīng)力，從而保證計(jì)算結(jié)果的精度。
另外，網(wǎng)格數(shù)量的多少影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算分析時(shí)間，但并非網(wǎng)格劃分的越細(xì)得到的結(jié)果就越好，因?yàn)榫W(wǎng)格太密太細(xì)，會(huì)占用大量的分析時(shí)間。為了考察網(wǎng)格劃分的合理程度，在計(jì)算模型建立后進(jìn)行試算，以考察模型精度，特別是重點(diǎn)考察區(qū)域的精度。對(duì)于紙板類結(jié)構(gòu)，保證單元邊長(zhǎng)在lmm-2mm之間時(shí)基本都能取得理想的結(jié)果。
(4)約束與加載問題
建立紙盒有限元分析模型應(yīng)當(dāng)在每個(gè)坐標(biāo)軸方向上至少給定一個(gè)約束，受約束節(jié)點(diǎn)的數(shù)量根據(jù)實(shí)際情況具體確定。定義約束條件是一個(gè)容易產(chǎn)生較大誤差的地方，紙盒的約束是根據(jù)其具體結(jié)構(gòu)確定的。紙盒的壓縮試驗(yàn)是在上下兩塊光滑的壓盤上進(jìn)行的，顯然壓盤的剛度比紙盒大的多，上壓盤以緩慢的速度加載，最后將紙盒壓潰。當(dāng)紙盒在水平壓盤上加載受壓時(shí)由于摩擦力的作用與上壓盤接觸的紙盒面板只會(huì)沿豎直方向被壓縮，而與下壓盤接觸的紙盒面板相當(dāng)于被固定在水平的壓盤上，不會(huì)有水平的滑動(dòng)也沒豎直方向的壓縮。故對(duì)紙盒施加約束時(shí)，應(yīng)將紙盒受壓時(shí)的邊界約束條件等效化，根據(jù)紙盒的受力以及實(shí)際破壞情況，紙盒面板與上下壓盤接觸的各節(jié)點(diǎn)豎向位移耦合，與上壓盤接觸的各節(jié)點(diǎn)豎向位移耦合，施加共同向下的位移，下壓盤固定不動(dòng)，對(duì)與下壓盤接觸的各節(jié)點(diǎn)的所有自由度施加約束，即對(duì)紙盒模型的四個(gè)側(cè)板的底部進(jìn)行約束，保證這些部位的節(jié)點(diǎn)不發(fā)生平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。
在ANSYS分析中，載荷包括邊界條件和內(nèi)外部的作用力函數(shù)，在不同的分析領(lǐng)域中具有不同的表征，為了真實(shí)地反映實(shí)際物理情況，將載荷分為自由度約束(DOF)、集中力載荷、面載荷、體載荷、慣性載荷以及耦合場(chǎng)載荷等。載荷可以直接在實(shí)體模型上加載，如將載荷施加到關(guān)鍵點(diǎn)、線或者面上;也可以在有限元模型上加載，即直接將載荷施加到節(jié)點(diǎn)和單元上。這兩種方法各有利弊，但無(wú)論選用何種途徑加載，程序都會(huì)自動(dòng)將這些載荷轉(zhuǎn)移到有限元模型上。在紙盒壓縮過程中，紙盒面板主要承受壓盤施加的作用力，為了模擬實(shí)際壓縮情況，應(yīng)該選擇在紙盒上加一個(gè)剛體，最后在剛體上施加一定載荷。
(5)非線性求解問題
紙盒的受力壓縮過程是一個(gè)囊括了材料、狀態(tài)、幾何三種非線性問題的復(fù)雜受力過程。材料非線性是指紙板原材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系引起的非線性行為，而且是不可逆轉(zhuǎn)的;狀態(tài)非線性是指紙板壓縮后引起的接觸問題;幾何非線性是指紙板在壓縮的過程中其變化的幾何形狀引起的非線性響應(yīng)，屬于大應(yīng)變類型。作為復(fù)雜的非線性分析，涉及到求解器的選擇、載荷步長(zhǎng)的選取、子步數(shù)的設(shè)置、迭代收斂準(zhǔn)則、自動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)等許多非線性因素，求解設(shè)置比較復(fù)雜，若處理不當(dāng)就會(huì)造成分析結(jié)果不收斂或者分析中斷等情況出現(xiàn)。因此，為了保證模擬計(jì)算的順利實(shí)現(xiàn)并獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，在前期求解設(shè)置時(shí)可以針對(duì)不同情況進(jìn)行多次試算，以獲取最佳的求解設(shè)置參數(shù)，特別是控制好平衡迭代及收斂準(zhǔn)則之間的關(guān)系。
三、結(jié)語(yǔ)
近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、現(xiàn)代力學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展，有限元法作為一個(gè)具有堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值模擬分析工具，在包裝工程領(lǐng)域方面的應(yīng)用越來(lái)越多。包裝設(shè)計(jì)及研究人員將這種技術(shù)引入到研究包裝材料的系統(tǒng)中，不僅提供了一種新的研究思路，而且有效地提高了工作效率，降低了包裝設(shè)計(jì)成本。但目前情況下，有限元法在紙類容器強(qiáng)度研究方面還不夠成熟，尤其是折疊紙盒抗壓強(qiáng)度的研究。由于受紙板原材料特性的制約，尚未有用于紙板壓縮應(yīng)力分析評(píng)定的系統(tǒng)方法，這樣就不能區(qū)分出應(yīng)力的類型，造成有限元法不能對(duì)應(yīng)力進(jìn)行進(jìn)一步分析，得出的結(jié)論可能對(duì)紙盒結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供不了更加可信的科學(xué)依據(jù)，因此，這些方面還有待進(jìn)一步的研究與發(fā)展。
總之，有限元法為包裝設(shè)計(jì)及研究人員提供了更為直觀更加快捷的研究手段，通過使用有限元分析的方法我們就能夠建立起紙盒的有限元模型并研究和分析它的力學(xué)特性。可以樂觀地估計(jì)，在不遠(yuǎn)的將來(lái)，有限元方法將非常廣泛地應(yīng)用到紙盒強(qiáng)度的研究領(lǐng)域，它將推動(dòng)計(jì)算機(jī)輔助分析在包裝工程方面的應(yīng)用向更高的水平發(fā)展。
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