數學學習法子 的摸索

數學學習法子 的摸索

內容提要：本文偏重論述了中學數學素質教學中數學學習法子 的摸索從數學教學的角度、數學本身的角度、數學學習的角度、數學內容的性質角度等四個方面如何實行數學學習法子 的領導談談自己的認識。

要害詞：數學 學法 角度 摸索

近幾年來，旨在教會學生會學習、進步學生自學能力 的學法領導的鉆研和實踐已是根基教導革新的一個熱門 課題。這一課題的提出和鉆研，不僅對當前進步根基教導質量、實行素質教導具有現實意義，而且對培植未來社會發展所需要 的人才、增進科教興國具有歷史意義。隨著社會、經濟、科技的高速發展，數學的利用越來越廣，地位 越來越高，作用越來越大。不僅如此，數學教導的實踐和歷史還表明，數學作為一種文化，對人的全面素質的進步具有龐大的影響。因此，進步根基教導中的數學教學質量，就顯得尤為首要�？赡壳坝捎谑�“應試教導 ”的影響，數學教學中違抗教導規律的現象和做法時有產生，為此更新數學教學思想、完善 數學教學法子 就顯得更加急迫。在數學教學中，開展學法領導，正是革新數學教學的一個突破口。

一、對數學教學如何實行數學學習法子 的領導，人們進行了許多有益的摸索和實驗 。首先是通過觀察、調查，歸納總結了中學生數學學習中存在的問題，如“學習懶惰，不肯動腦；不訂企圖 ，慣性運轉；漠視預習，坐等上課；不會聽課，事倍功半；逝世記硬背，機械模仿 ；不懂不問，一知半解；不重根基，好高騖遠；趕做作業，不會自學；不重總結，鄙棄復習 ”等等。針對這些問題，提出了相應的數學學法領導的道路和法子 ，如數學全程滲透式（將學法領導滲透于制定企圖 、課前預習、課堂學習、課后復習 、獨立作業、學習總結、課外學習等各個學習環節之中）；建立 數學學習慣例（課堂慣例 ———情境美，參與高，求精彩，求效率 ；課后慣例 ———認真讀書，收拾筆記，沉思熟慮，勇于質疑；作業慣例 ———先復習 ，后作業，字跡明確，表述規范，盤算正確 ，填好《作業檢測表》，重做錯題）等等。誠然，這對于端正學習態度、養成學習習慣、進步學業成績 、優化學習品德，采勸對癥下藥”的策略，開展對學習慣例的領導，無疑會收到較好的效果 。但是，數學學習法子 的領導，決不能漠視數學所特有的學習法子 的領導。可以說，這才是數學學法領導之內核和要害 。也就是說，數學學法領導該當偏重領導學生學會了解數學知識、學會解決數學問題、學會數學地思維、學會數學交換、學會用數學解決實際問題等。有鑒于此，筆者首要從“數學”、“數學學習”起程，來闡釋數學學習法子 ，論述 數學學法領導。

二、從數學的角度起程，就是要考查。關數學的特性于數學的特性，雖仍有爭議，但傳統或者說對比科學的提法仍是３條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和利用的廣泛 性。
１．數學鉆研的對象原本是現實的，但由于數學僅從空間情勢與數量關系方面來反響客觀現實，所以數學是逐級抽象的產物。比如三角形形狀的實物模型隨處可見，多種多樣，名目繁多，但數學中的“三角形”卻是一種抽象的思維情勢（概念），撇開了人們常見的各種三角形形狀實物的諸多性質（如天然屬性、物理性質等）。因此，學習數學首當其沖的是要學習抽象。而抽象又離不開概括，也離不開對比和分類，可以說對比、分類、概括是抽象的根基和前提。比如，要從已經過抽象得出的物體運動 速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、產品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金屬加熱引起的長度變更ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函數ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，顯然要經過對比（它們的異同）和概括（它們的共同特點）。根據 數學高度抽象性的特性，數學學法領導要強調對比、分類、概括、抽象等思維法子 的領導。
２．數學結論的可靠性有其嚴峻的請求，觀察和實驗 不能作為論證的根據和法子 ，而是要經過邏輯推理（表現 為證明或盤算），方能得以承認。比如，“三角形內角和為１８０°”這個結論，通過測量的法子 是不能確立的，唯有在歐氏幾何系統中經過數學證明才干確定其正確 性（斷定性）。在數學中，只有通過邏輯證明和符合邏輯的盤算而得到的結論，才是可靠的。事實上，任何數學鉆研都離不開證明和盤算，證明和盤算是極其首要的數學運動，而通常所說的“數學思想法子 往往是數學中證明和盤算的法子 。探求數學問題的解法也就是尋找相應的證明或盤算的具體法子 。從這一點上來說，證明或盤算是任何一種數學思想法子 的組成部分，又是任何一種數學思想法子 的目標 和表述情勢 ”。又由于證明和盤算首要依賴的是歸納與演繹、分析 與綜合，所以根據 數學邏輯的嚴謹性特性，數學學法領導要器重歸納法、演繹法、分析 法、綜合法的領導。
３．由于任何客觀對象都有其空間情勢和數量關系，因而從理論上說以空間情勢與數量關系為鉆研對象的數學可以利用于客觀世界的一切領域 ，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數學。利用數學解決問題，不但首先要提出問題，并用明確 的語言加以表述，而且要建立 數學模型，還要對數學模型進行數學推導和論證，對數學效果進行檢驗和評價。也就是說，數學之利用，它不僅表現 為一種工具，一種語言，而且是一種法子 ，是一種思維模式。根據 數學利用的廣泛 性特性，數學學法領導還要領導學生建立 和操作數學模型，以及進行檢驗和評價。
三從數學學習的角度起程，就是要通過對數學學習歷程的考查，引申出數學學法領導的內容和策略。關于數學學習的歷程，對比新鮮的觀點是：“在原有行徑結構 與認知結構 的根基上，或是將環境對象納入其間（同化），或是因環境作用而引起原有結構 的轉變（順應），于是形成新的行徑結構 與認知結構 ，如此不斷往復，直達到成相對的適應性平衡”。通過對這一認識的分析 和了解，就數學學法領導而言，可概括出以下３點：
１．行徑結構 既是學習新知的目標和效果，又是學習新知的根基，因而在數學教學中亦需重視外部行徑結構 形成的領導。由于這種外部行徑首要包孕外部實物操作和外部符號（首要是語言）運動，所以在數學學法領導中，一要器重學具的操作（可請求學生盡可能多地制作 學具，操作學具）；二要器重學生的言語表達（給學生盡可能多地供給言語交換的時機，可以是教師與學生間的交換，也可以是學生與學生之間的交換）。
２．認知結構 同樣既是學習新知的目標和效果，也是學習新知的根基，故而數學教學要加強 數學認知結構 形成的領導。所謂數學認知結構 ，是指學生腦子中的知識結構 按自己的了解深度、廣度，聯合自己的感到、知覺、記憶、思維等認知特性，組合成的一個具有內部規律的整體結構 。因此，對于學生形成數學認知結構 的領導，要害在于不斷地進步所浮現的數學知識和經驗的結構 化程度 。在數學學法領導中，須注意如下幾點：①加強 數學知識間接洽的教學。無論是新知識的引入和了解，還是鞏固和利用，尤其是知識的復習 和收拾，都要從知識間的接洽起程。②器重數學思想的發掘和滲透。由于數學思想是對數學的本色的認識，因而數學思想是數學知識結構 建立 的根基。常見的數學思想有：符號思想、對應思想、數形聯合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③重視數學法子 的明晰教學。數學法子 作為解決問題的手法，是建立 數學知識結構 的橋梁。常見的數學法子 有：化歸法、結構法、參數法、變換法、換元法、配法子 、反證法、數學歸納法等。
３．在原有行徑結構 與認知結構 的根基上，無論是通過同化，還是通過順應來獲得新知，必須 是在一種學習機制的作用下方能實現。而這種學習機制首要就是對學習新知歷程的監控和調節，即所謂的元學習。本色上，能否會學，要害就在于這種學習是否建立 起來。于是，元學習的領導又成為數學法子 領導的首要內容。為此，在數學學法領導中，需要 注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數學運動法子 的概括，如遇到一個數學證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數學理論或技術的利用背景和條件的概括，如控制換元法的具體步驟，獲得換元技術，了解在什么條件下利用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學生領會 影響數學學習（數學認知）的各種因素。比如，學習材料 的浮現法子 是文字的、字母的，還是圖形的；學習任務 是盤算、證明，還是解決問題，等等。這些學習材料 和學習任務 方面的因素，都對數學學習產生 影響。③要充沛揭示數學思維的歷程。比如，揭示知識的形成歷程、思路的產生 歷程、嘗試摸索歷程和偏差糾正 歷程。④贊助 學生進行自我診斷，明確 其自身數學學習的特點。比如：有的學生長于代數，而認知幾何較差；有的學生記憶力較強而了解力較弱；還有的學生口頭表達不如書面表達等。⑤領導學生對學習運動進行評價。如評價問題了解的正確 性、學習企圖 的可行性、解題程序的簡捷性、解題法子 的有效性等諸多方面。⑥贊助 學生形成自我監控的意識。如監控認知方向意識、認知歷程意識和調節認知策略意識等等。
四根據 數學內容的性質，數學教學一般可分為概念教學、命題（首要有定理、公式、法則、性質）教學、例題教學、習題教學、總結與復習 等５類。相應地，數學學法領導的實行亦需分辨 落實到這５類教學之中。這里僅就例題教學中如何實行數學學法領導談談自己的認識。
１．根據 學生的學情布置例題。如前所述，學習新知必須 建立 在已有的根基之上，從內容上講，這個根基既包孕知識根基，又包孕認知程度和認知能力 ，還包孕學習興趣 、認知意識，乃至學習態度等有關學習動力系統 方面的籌辦。因此，無論是選配例題，還是布置例題，都要考慮 到學生的學習情況 ，尤其是要考慮 激發學生認知興趣 和認知需求的原則（稱之為動機原則）。在例題選配和布置中，可采納增、刪、調的策略，力求既突出重點，又符合學生的學情。所謂增，即根據 學生的認知缺點增補鋪墊性例題，或者為突破某個難點增加過渡性例題。所謂刪，即根據 學生情況 ，刪去對比簡略的例題或請求過高的難題。所謂調，即根據 學生的實際程度，將后面的例題調至前面先教，或者將前面的例題調到后面后教。
２．根據 學習目標 和任務 精選例題。例題的作用是多方面的，最根基的莫過于了解知識，利用知識，鞏固知識；莫過于訓練數學技術，培植數學能力 ，發展數學觀念。為施展例題的這些根基作用，就要根據 學習目標 和任務 選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個知識點、某項數學技術、某種數學能力 等重點內容而增補強化性例題，或者根據 接洽社會發展的需要 ，增加補充 性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過時的例題。所謂并，即為突出某項內容把單元內前后的幾個例題合并為一個例題，或者為突出知識間的接洽打破單元界限 而把不同內容的例題綜合在一起。
３．根據 解題的心理歷程設計例題教學程序。遵守波利亞的解題理論，一般把解題歷程分為弄清問題、擬定企圖 、實現企圖 、回首等４個階段。這是針對解題歷程本身而言的。但就解題教學來說，還該當增加一個步驟，也是重要環節，即要使學生“進入問題情境”，讓學生產生 一種認知的需要 。對于“進入問題情境”環節，請求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學習目標 ，明確 學習任務 ，激起認知沖突。而對其余４個環節，教師的行徑可按波利亞的“怎樣解題表”中的請求去構思。一般教師和學生都能夠注意做到做好前３個環節，卻容易漠視“回首”環節。嚴峻說來，回首環節對解題能力 的進步，對例題教學目標的實現起著不可替代的作用。對回首環節來講，除波利亞提出的幾條以外，更為首要的是對解題法子 的概括和反思，并使其能遷移到其它問題的解決之中。
４．根據 數學法子 領導的目標和內容適度調劑例題。通常，人們根據 問題的條件（Ａ）、解決的歷程（Ｂ）及問題的結論（Ｃ）的情況 把數學題劃分為標準 題和非標準 題兩大類：如果條件和結論都明確 ，學生也熟知解題歷程（即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），這種題為標準 題（記為ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中短缺一個或兩個要素的題則為非標準 題。如果分辨 用Ｘ、Ｙ、Ｚ表現對應于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，則非標準 題的題型（計６種）可表現為：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。數學教材中的例題大多數是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和極少數的ＡＹＺ型。由于數學學法領導的一項首要任務 是教學生會抽象、概括、歸納、演繹，會數學地思考和交換，會分析 問題和解決問題，因而例題教學要特別 重視教材中短缺的幾種類型題的教學。其中最為首要的是“開放性題”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例題中，Ｚ不唯一）和“數學問題解決”中所指出的“數學利用題”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主題是數學以外的內容）。對于“開放性題”，由于它的結論不唯一，對培植學生數學思維有著至關首要的作用。對于“數學利用題”，則由于它的解決要用數學模型法，因而對培植學生運用 分析 問題和解決問題的法子 是十分首要的。從數學學法領導的角度來說，適度調劑例題很有必要。調劑的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點有關的“開放性題”和“數學利用題”。
５．重視對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點外，例題教學還具有傳授新知識，積累 數學經驗，完善 數學認知結構

參考文獻：
1、曲培富《數學教學中“教為主導、學為主體”的認識與實踐》（《中學數學雜志》1993年第1期）
2、肖柏榮《數學教導設計的藝術》（《數學通報》 1996年10月）
3、馮克誠《中學數學鉆研：3+x中學成功 學法系統》（內蒙古出版社，2000年9月）
4、皮連生《學與教的心理學》（華東師范大學出版社 1997年）

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