論文分析：數學抽象與概括方法
所謂抽象，是指從復雜的事物中，排除非本質屬性，透過現象抽出其本質特征的思維過程，通過科學的抽象，人們就能更深刻、更正確、更完全地把握事物的內部聯系和本質特性。抽象是數學中常用且不可少的思維方法。
所謂概括，就是將個別事物的本質特征綜合起來推廣到同類事物的思維過程。在數學中概括是構成概念的一種重要方法，它和抽象相互聯系，密不可分。
事實上，數學中的任何一個數、一個算式、一種運算、每個概念、公理、定理、法則和有關的數學模型，無一不是抽象、概括的結果。其中，大多數概念是從直接觀察事物的現象中抽象出來的。它是對事物所表現出來的特征的抽象，故稱之為“表征性抽象”。如點、線、面、體、正方形、立方體、回轉體等均屬此類。而數學公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基礎上形成的一種深一層的抽象，它揭示了事物的因果性和規律性聯系，故稱之為“原理性抽象”。
至于與抽象相聯系的概括，在數學中常常用于把某類事物的部分個體所具有的特性推廣到該事物的全體上去，或是把某個特定領域的規律推廣到其它領域中去。這種概括稱之為“外推性概括”，對于數學概念，則常常是采取由對單一的某個事物的認識，直接上升概括為一種具有普遍性規律的認識，這種概括稱之為“上升性概括”。由于我們數學學習所認識的對象，主要是已經被前人抽象、概括了的間接知識，盡管它們無需我們再去抽象、概括，但是我們必須要在數學的學習過程中，去分析、研究，弄清它們是如何抽象、概括出來的，不僅僅限于去學習這些知識，重要的是要去學習這種抽象概括的思想方法，必須學會擺脫具體內容，從各種概念、關系運算、定理的結構中去分析，被揚棄的非本質屬性是哪些？抽出的本質特征又是什么？又是怎樣去概括這些本質特征的？自己也可以選擇一些適當的事物做這種抽象、概括方法的訓練，通過這樣的深究分析，便可在學習活動中逐步培養抽象、概括的能力。
下面，我們看一個對現實世界中的具體問題，通過抽象、概括歸結出一個相應的“數學模型”的生動、有趣的典型例子。
哥尼斯堡七橋問題
18 世紀東普魯士哥尼斯堡有條普萊格爾河橫貫城區。這條河流有兩條支流，在城中心匯成大河，中間是島區。兩個島與河兩岸建有七座橋把它們聯系起來。
哥尼斯堡的大學生們提出這樣的問題：一個人能否從任何一處為出發點，一次相繼走遍這七座橋，且每橋只能走一次，然后重返到起點。即所謂七橋問題。
大學生們現場進行了多次步行嘗試，終無一人取得成功。于是他們就寫信給當時著名的大數學家歐拉，請他幫助解決這個問題。
1736 年歐拉研究了這一問題。他把人們步行過橋的問題，抽象成為一個“一筆畫”問題。他是這樣想的：島B 與半島D 無非是橋梁的連接地點，兩岸陸地 A 與 C 也是橋梁通往的地點，這就不妨把這四處地點縮小，抽象為四個點 A、B、C、D，而把七座橋抽象成七條線段，顯然未改變問題的實質。這樣，原來的七橋問題，就抽象、概括成：能否一筆且無重復地畫出圖中右邊圖形的問題。這個一筆畫的幾何圖形，就是“七橋問題”的數學模型。這個問題在拓撲學的歷史發展中占有重要的地位。
接著，歐拉考慮了“一筆畫”的結構特征。按照“一筆畫”中每一點交會的曲線段數的奇、偶數來分，有：
�、僦炼嘤袃蓚�點（即起點和終點）有可能通過奇數條曲線段；
②其它的任何一個中間點（交點），每次總是沿著一條曲線段到達這點，緊接著又必須沿另一條曲線段離開這點（用以滿足“無重復”的要求）。因此，在這些中間點交會的曲線段必為偶數條；
�、塾捎诂F在所要做的是封閉圖形（即終點與起點必須重合），因此，可以一筆且無重復地畫出某一圖形的條件（充要條件）是：圖中各中間點的曲線段總是偶數條。
然而，現在得出的圖形中的四個交點A、B、C、D 處所通過的曲線段都是奇數條，這就不符合“一筆畫”所具有的特征。因此，可以斷言這一圖形是不可能一筆且無重復地畫出。也就是說，所提的“七橋問題”不可能實現。
可以看出，歐拉正是運用了數學抽象的方法，把具體的“七橋問題”概括為一種數學結構關系，即相應的數學模型。這種數學結構（或數學模型），已經揚棄了具體事物中的非木質屬性（如島、河岸、橋等等），僅保留了對象的'量的特征。這種通過抽象、概括以建立客觀事物的數學模型（即數學關系結構）來揭示事物的本質特征及規律的方法，叫“數學模型方法”。
“七橋問題”的模型化方法的思路
分析與綜合是抽象思維的基本方法，也是數學學習中最基本的方法。它們同對比、分類、類比、歸納和演繹等方法并不是相互平行、完全獨立的，而是彼此聯系、相互滲透的，在類比和歸納中要運用分析，在比較分類中就有綜合；而分析綜合中又離不開比較、歸納和演繹等。
所謂分析，是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次，并分別加以考察認識的一種思維方法，即由整體分解為部分的一種思維方法，從心理學的角度看，分析過程是當劃分的對象刺激大腦皮層時，引起大腦皮層的興奮和抑制，大腦皮層的興奮和抑制就是分析的心理過程的生理基礎，從而把被認識的對象劃分出不同的個體形式。
所謂綜合，是將已有的關于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認識聯結起來，形成一個整體認識的一種思維方法，即由部分聯合為整體的一種思維方法。從心理學的角度看，綜合過程是把分析過程大腦皮層的興奮和抑制的暫時神經聯系接通，這兩種神經聯系的接通就是綜合的心理過程的生理基礎，它把分析出來的不同的個體形式聯合起來。
分析與綜合是對立的統一，它們互相依存、互相滲透、互相轉化。思維既把相互聯系的要素聯合為一個統一體。同樣也把意識的對象分解為它的要素。沒有分析就沒有綜合。分析的結果，也就是綜合的出發點。科學認識的發展總是沿著分析——綜合——新的分析——新的綜合的軌道不斷前進的。
在邏輯學中，分析與綜合都是思維的方法、發現的方法，是創造性思維形式的要素，而不是證明的方法，應和數學中講的兩種推理和證明的方法：
“分析法”和“綜合法”有所區別。分析與綜合雖然不是完全獨立的思維方法，但鑒于它們不僅是科學研究的方法，而且也是一種學習方法，并具有其心理特征。為了在數學學習中更好地理解和運用分析與綜合的抽象思維方法，特對它們作些必要的單獨討論。在數學學習中，把分析與綜合的思維方法運用到邏輯證明上，就形成了數學證明中的分析證法與綜合證法。
1.分析證法
所謂分析證法（簡稱分析法），是從未知到已知的證明方法，其證明過程是由“題斷”出發，逐步逆追這個結論成立的條件，直到最后找到已知的“題設”。由于它是從結果逆追到產生這一結果的原因的一種思維方法，故也可稱為“執果索因法”。由于它的思考順序是執果索國，因而它是從結論出發去步步尋找結論成立的充分條件。其證明模式為“要證，只須證”，人們常用分析法來尋找解題思路，特別是在解應用題、證明幾何題和證明三角函數恒等式時用得較多。
若在推理過程中步步可逆時，即任何兩個相鄰的論斷都互為充要條件（它們互為等價命題）時，把這種特殊情況下的分析法稱為“逆證法”。它在代數恒等式及不等式的證明中常常用到。但由于不能由④推出⑤，即④僅是⑤成立的必要條件，而不充分，即①與⑤不是互為充要條件，它們不可逆，故不能用逆證法。由此可見，逆證法僅是分析法的一種特例，而分析法并不是逆證法。
2.綜合證法
所謂綜合證法（簡稱“綜合法”），是從已知到未知的證明方法，其證明過程是由“題設”出發，逐步推導到這個題設可能得出的結論，直到最后推出未知“題斷”為止。由于它是從原因推導到由原因產生的結果的一種思維方法，故也可稱為“由因導果法”。由于它的思考順序是“由因導果”，因而它是從題設和已知的正確命題出發，步步尋找其必要條件，直至得到探求的正確結論。其證明模式為：“因為，所以”。鑒于從平幾學習開始，這種綜合法我們已做過許多次的訓練，較為熟悉，就不再贅述。
相對比較這兩種方法的應用，分析法的優點是推理方向明確，充分條件易于尋找，但因是逆向思維，故容易敘述不清，且書寫格式較繁；綜合法的優點是順向思維，書寫證明簡潔清晰，但正確推理思路不易尋找，容易導致錯誤思路，因此，學習時我們最好兼取二者之長：用分析法來幫助尋找正確的解題思路，而用綜合法來書寫其證明過程。
3.分析——綜合證法
分析法和綜合法，可以概括為“執果索因”和“由因導果”，難度較大的題目單一地使用分析法或綜合法去尋求解題思路難以奏效，而將兩者結合起來，交替使用，時而“由因導果”，由已知看可知，再推可知，；時而“執果索出”，由未知尋需知，再找需知，。直至最后溝通可知與需 知的渠道，解題途徑也就找到了。
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