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綜合評價飛機性能與最佳飛行方案設計的問題(一)
飛機性能的評價與飛行方案的設計
摘要
本文解決的是一個綜合評價飛機性能與最佳飛行方案設計的問題，并從航空公司角度對購買何種機型進行了詳盡的討論。
問題一，對目前在我國民航業運營的B747-100等17種型號的客機，通過線性加權的方法，采用客觀賦權的方式將飛機的諸多性能指標綜合為一個量化指標，進行了較為科學合理的評價，并對其性能優劣進行了排序：B747-100、L-1011……DC-9-10。
問題二，首先考慮將所有的旅客送達目的地以使旅客滿意，建立多目標規劃模型。由于飛機型號和數量的限制得出此模型與實際不符，進而對模型進行改進，引入了偏差變量使未搭乘飛機的人數最少，得到既滿足旅客需求又節約成本的最佳飛行方案：在5條航線上共布置14架飛機，共有16名旅客未能乘機，消耗燃料共計4.8668e+004 (gal)操作費用共計9.7793e+004($)
問題三，在問題一的基礎上，整體比較了波音公司（B型號）和麥道公司(MD和DC型號)生產的客機的性能，得出波音公司生產的飛機性整體性能較優。對如何購買飛機，我們引入市場需求指數、飛機的經濟性和綜合性能三項指標，并對表一中波音公司生產的8種型號的飛機進行了綜合考查，利用層次分析法得出了較好的購買方案.即購買B747-100和B757-200兩架飛機。
關鍵詞：性能評價；線性加權方法；多目標規劃；層次分析
一、問題重述
1.背景
隨著民航事業的發展，我國形成了許多航空公司。各航空公司擁有各種不同的民航客機，相互之間存在著激烈的競爭。飛機型號及其布置的選擇合理與否，將直接影響到航空公司的效益，甚至生死存亡。
2.問題
問題一
目前在我國民航業運營的各種客機的性能參數見表1，根據表1的數據綜合評價各客機的性能。將表1中17種不同型號的飛機進行依次編號為1，2，…，17。
表1各種飛機的性能參數
編號 飛機型號 擁有座位數 航速（mph） 飛行距離（miles） 燃料消耗（ gal/hr） 操作費用（$/hr）
1 B747-100 405 519 3149 3529 6132
2 L-1011 296 498 1631 2215 3885
3 DC-10 288 484 1410 2174 4236
4 A300 B4 258 460 1221 1482 3526
5 A310-300 240 473 1512 1574 3484
6 B767-300 230 478 1668 1503 3334
7 B767-200 193 475 1736 1377 2887
8 B757-200 188 449 984 985 2301
9 B727-200 148 427 688 1249 2247
10 MD-80 142 416 667 882 1861
11 B737-300 131 413 605 732 1826
12 DC-9-50 122 378 685 848 1830
13 B727-100 115 422 626 1104 2031
14 B737-100 112 388 440 806 1772
15 F-100 103 360 384 631 1456
16 DC-9-30 102 377 421 804 1778
17 DC-9-10 78 376 394 764 1588
問題二
如果航空公司目前承擔表2中的運輸計劃，制定滿足旅客需求（方便快捷）同時又節約成本的最佳飛行方案（即在每條航線上布置何種客機、布置多少）。
表 2 某公司承擔的運輸任務
航線 平均旅客人數 飛行距離（miles）
1 350 2900
2 1050 1200
3 205 900
4 500 620
5 400 400
擁有客機型號及數量 DC-10(1架),B747-100(1架), A300 B4(2架), B767-300(2架), B757-200(1架), MD-80(2架), DC-9-30(3架), B727-100(3架)
問題三
整體比較波音公司（B型號）和麥道公司(MD和DC型號)生產的客機的性能。如果航空公司需要新買進兩架客機以擴充運輸能力并提高旅客的滿意程度，應該選擇何種客機，說明理由。
二、符號約定
xj : 表示飛機性能指標變量(j=1,2,…,n)
X : 表示n個性能指標組成的單列矩陣 X=[x1,x2…,xn]T
Z : 表示飛機性能綜合指標函數 Z（x）＝(x1,x2…,xn)
Tij : 表示各性能指標標準化后無量綱、正向可加的標準數據（其數據越大越好）
Mj : 表示第i種型號飛機中第j項性能指標的最大值
mj : 表示第i種型號飛機中第j項性能指標的最小值
Zi : 表示第i種型號飛機性能的綜合指標
w*j: 表示性能指標變量xj的權重
rij: 表示第i種型號飛機第j個性能指標的標準化數據占此型號飛機所有性能指標的標準化數據的比重
Sj: 表示各性能指標的熵值
Vi: 表示第i型號飛機的航速
li: 表示第i型號飛機的飛行距離
nij: 表示第j條航線是否布置第i號飛機；布置時nij=1,否則nij=0
lj*: 表示第j條航線的飛行距離
三、問題假設
飛機勻速直線飛行；
飛機在中途不停留、不加油，旅客無轉機；
不考慮天氣等人為或突發事件對飛機起飛的影響；
在執行任務時，一架飛機只在一條航線上飛行一次；
飛機為增加安全性，每架飛機旅客數不超其最大載客量；
不考慮飛行員技術對燃料消耗和操作費用的影響；
飛機的性能僅受題目所給五項指標的影響;
8. 公司經濟實力雄厚，有閑置飛機的承受能力;
9. 購買飛機時，不考慮航空公司對價格的承受能力;
四、問題分析
問題一：對于17架不同飛機，給出了座位數、航速等五項指標，要求對其進行綜合性能的評價，考慮到五項指標優劣相互交錯，只考慮某一項指標顯然不妥。故此我們采用線性加權法，通過一套量化的評價標準來對其進行描述。
問題二：給出15架客機，要求對5條航線進行飛機布置，制定出滿足旅客需求（方便快捷）同時又節約成本的最佳飛行方案，以執行運輸計劃。其中，方便可理解為機票不緊張，快捷指中途不停留，飛行時間短。節約成本就是要最大限度地降低燃料的消耗和操作費用的支出。因此，航線的制定要考慮到飛機最大航程的剛性約束，又要想到每條航線上平均旅客人數的軟性約束，同時，為了保證航空公司的經濟效益，必須考慮燃料消耗和操作費用對決策的影響。
問題三：要求對波音和麥道公司所生產的客機性能進行整體評價，并選取兩架合適的飛機來擴充公司的運輸能力和提高旅客的滿意程度。對于運輸能力，即要最大限度的多輸送旅客，又要提高飛機的座客率;對于旅客的滿意程度，即要求飛機航速快，容易購得機票，同時，還要照顧到航空公司的經濟利益�？傊�，對于飛機選型的評估，既要有飛機的技術性能，又要有經濟性的綜合評估。
五、模型的建立與求解
問題一
建模準備：
盡管飛機型號繁多，但航空公司對它的性能要求是一致的，即要求安全性高、方便快捷、成本最少。飛機的性能指標很多，包括有載客量、經濟性指標，也有旅客滿意程度等指標，這里我們只考慮飛機的最大航程、最大航速、耗油率、載客量和操作費用五個指標。由于客運機按其航程有短線和長線之分，故生產廠家之問的設計、制造水平存在一定差異，使得各自生產出的機型的性能也不盡相同。若某機型的各項性能指標都相應地高于其他機型，則該機型的性能也必然好于其他機型。然而，實際情況往往是不同機型的性能指標優劣相互交錯，很難用某單項性能指標來評價各機型的性能好壞［1］。因此，如何正確評價飛機性能的好壞需要一個完整的評價體系，我們從這一實際情況出發，利用線性加權方法將飛機的諸多性能指標綜合為一個量化指標，以此來評價不同機型性能的好壞。
模型的建立：
1．綜合評價數學模型
1.1.綜合指標函數
設：飛機性能指標變量為xj( j=1，2，. ，n),X=[x1,x2,…,xn]T ,則飛機性能綜合指標函數為 (1)
式中代表各性能指標變量組成的單列矩陣。顯然，正確評價不同機型性能的好壞，就化為求解各機型的Z(X )值，Z(X )愈大，則性能就愈好。
1.2.性能指標數據的標準化（程序見附錄附件1）
在飛機性能指標中，由于既有極大型指標(指標越大越好)，也有極小型指標(指標越小越好)且各指標的單位也不統一，因此，要計算飛機綜合性能指標，就必須將性能指標標準化，即將單位不統一的各性能指標轉化為無量綱、正向可加(轉化的數據越大越好)的標準數據。
設：現有i種不同飛機機型，則某機型性能指標的標準化公式為
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