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康托爾與集合論
康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創立者。是數學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關于連續性和無窮的從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的最終證明康托是正確的。他所創立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅了數學，而且也深深影響了現代和邏輯。1．康托爾的生平
1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優秀的數學家一樣，他在中學階段就表現出一種對數學的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結論。他的父親力促他學工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學。這時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據著的世界數學中心之一。所以在柏林大學，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉到純粹的數學。他在1869年取得在哈勒大學任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數學雜志》上發表了關于無窮集合的第一篇革命性文章。數學史上一般認為這篇文章的發表標志著集合論的誕生。這篇文章的創造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數成為康托研究的主流，他一直在這方面發表論文直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續續影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學的精神病院中去世。
2．集合論的背景
為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產生的背景。
集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數學基礎的批判運動。數學分析的發展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化�？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：�，甚至產生邏輯矛盾。19世紀后期的數學家們發現使柯西產生邏輯矛盾的的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。于是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續函數的描述。在數與連續性的定義中，有涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。
3．集合論的建立
康托在柏林大學的導師是外爾斯托拉斯，庫曼和克羅內克。庫曼教授是數論專家，他以引進理想數并大大推動費馬大定理的研究而舉世聞名是�？肆_內克是一位大數學家，當時許多人都以得到他的贊許為榮。外爾斯托拉斯是一位優秀教師也是一位大數學家。他的演講給數學分析奠定了一個精確而穩定的基礎。例如，微積分中著名的觀念就是他首先引進的。正是由于這些人的影響，康托對數論較早產生興趣，并集中精力對高斯所留下的問題作了深入的研究。他的畢業論文就是關于++=0的素數問題的。這是高斯在《算術研究》中提出而未解決的問題。這片論文寫得相當出色，它足以證明作者具有深刻的洞察力和對優秀思想的繼承能力。然而，他的超窮集合論的創立，并沒有受惠于早期對數論的研究。相反，他很快接受了數學家海涅的建議轉向了其他領域。海涅鼓勵康托研究一個十分有趣，也是較困難的問題：任意函數的三角級數的表達式是否唯一？對康托來說這個問題是促使他建立集合論的最直接原因。函數可用三角級數表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此后對于間斷點的研究，越來越成為分析領域中引人注目的問題，從19世紀30年代起，不少杰出的數學家從事著對不連續函數的研究，并且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康托最終建立集合論創造了條件。1870年，海涅證明，如果表示一個函數的三角級數在區間[-π,π]中去掉函數間斷點的任意小鄰域后剩下的部分上是一致收斂的，那么級數是唯一的。至于間斷點的函數情況如何，海涅沒有解決�？低虚_始著手解決這個以如此簡潔的方式表達的唯一性問題。于，他跨出了集合論的第一步。
康托一下子就表現出比海涅更強的研究能力。他決定盡可能多地取消限制，當然這會使問題本身增加難度。為了給出最有普遍性的解，康托引進了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后發表了五篇有關這一題目的文章。1872年當康托將海涅提出的一致收斂的條件減弱為函數具有無窮個間斷點的情況時，他已經將唯一性結果推廣到允許例外值是無窮集的情況�？低�1872年的論文是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環節，使無窮點集成為明確的研究對象。
集合論里的中心，難點是無窮集合這個概念本身。從希臘以來，無窮集合很自然地引起數學家們和哲學家們的注意。而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀，人們已經注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發畫射線，那么射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應，然而兩圓的周長是不一樣的。16世紀，伽俐略還舉例說，可以在兩個不同長的線段ab與cd之間建立一一對應，從而想象出它們具有同樣的點。
他又注意到正整數可以和它們的平方構成一一對應，只要使每個正整數同它們的平方對應起來就行了:
1 2 3 4 … … n … …
2 3 4 … … n … …
但這導致無窮大的不同的“數量級”，伽俐略以為這是不可能的.因為所有無窮大都一樣大。
不僅是伽俐略，在康托之前的數學家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應的比較手段，因為它將出現部分等于全體的矛盾.高斯明確表態：“我反對把一個無窮量當作實體，這在數學中是從來不允許的。無窮只是一種說話的方式… …”柯西也不承認無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構成一一對應這件事。當然，潛無窮在一定條件下是便于使用的，但若把它作為無窮觀則是片面的。數學的發展表明，只承認潛無窮，否認實無窮是不行的�？低邪褧r間用到對研究對象的深沉思考中。他要用事實來說明問題，說服大家�？低姓J為，一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應不是什么壞事，它恰恰反應了無窮集合的一個本質特征。對康托來說，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。它定義了基數,可數集合等概念。并且證明了實數集是不可數的代數數是可數的.康托最初的證明發表在1874年的一篇題為《關于全體實代數數的特征》的文章中,它標志著集合論的誕生。
隨著實數不可數性質的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多�？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認識的。但三年后，康托宣布：不僅平面和直線之間可以建立一一對應，而且一般的n維連續空間也可以建立一一對應！這一結果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發現真理，避免謬誤。
既然n維連續空間與一維連續統具有相同的基數，于是，康托在1879到1884年間集中于線性連續統的研究，相繼發表了六篇系列文章，匯集成《關于無窮的線性點集》。前四篇直接建立了集合論的一些重要結果，包括集合論在函數論等方面的。其中第五篇發表于1883年，它的篇幅最長，也最豐富。它不僅超出了線性點集的研究范圍，而且給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中借助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產生的哲學問題，包括回答反對者們對康托所采取的實無窮立場的非難。這篇文章對康托是極為重要的。1883年，康托將它以《集合論基礎》為題作為專著單獨出版。
《集合論基礎》的出版，是康托數學研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數。康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進�！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數學中關于無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充�！薄都险摶A》是康托關于早期集合理論的系統闡述，也是他將做出具有深遠影響的特殊貢獻的開端。
康托于1895年和1897年先后發表了兩篇對超限數理論具有決定意義的論文。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數的，采用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個“序列”；規定了它們的加法，乘法和乘方… …。到此為止，康托所能做的關于超限基數和超限序數理論已臻于完成。但是集合論的內在矛盾開始暴露出來。康托自己首先發現了集合論的內在矛盾。他在1895年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續統假說；另一個是所有超窮基數的可比較性。他雖然認為無窮基數有最小數而沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。一直到1903年羅素發表了他的著名悖論。集合論的內在矛盾才突出出來，成為20世紀集合論和數學基礎研究的出發點。
4．對康托集合論的不同評價
康托的集合論是數學上最具有革命性的。他處理了數學上最棘手的對象---無窮集合。因此，他的道路也很不平坦。他拋棄了一切經驗和直觀，用徹底的理論來論證，因此他所得出的結論既高度地另人吃驚，難以置信，又確確實實，毋庸置疑。數學史上沒有比康托更大膽的設想和采取的步驟了。因此，它不可避免地遭到了傳統思想的反對。
19世紀被普遍承認的關于存在性的證明是構造性的。你要證明什么東西存在，那就要具體造出來。因此，人只能從具體得數或形出發，一步一步經過有限多步得出結論來。至于“無窮”，許多人更是認為它是一個超乎于人的能力所能認識的世界，不要說去數它，就是它是否存在也難以肯定，而康托竟然“漫無邊際地”去數它，去比較它們的大小，去設想沒有最大基數的無窮集合的存在……這自然遭到反對和斥責。
集合論最激烈的反對者是克羅內克，他認為只有他的數論及代數才最可靠。因為自然數是上帝創造的，其余的是人的工作。他對康托的研究對象和論證手段都表示強烈的反對。由于柏林是當時的數學中心，克羅內克又是柏林學派的領袖人物，所以他對康托及其集合論的發展前途的阻礙作用是非常大的。另一位德國的知覺主義者魏爾認為，康托把無窮分成等級是霧上之霧。法國數學界的權威人物龐加萊曾預言：我們的“后一代將把（康托的）集合論當作一種疾病”等等。由于兩千年來無窮概念數學帶來的困難，也由于反對派的權威地位,康托的成就不僅沒有得到應有的評價，反而受到排斥。1891年，克羅內克去世之后，康托的處境開始好轉。
另一方面，許多大數學家支持康托的集合論。除了狄德金以外，瑞典的數學家米大格---列夫勒在自己創辦的國際性數學雜志上把康托的集合論的論文用法文轉載，從而大大促進了集合論在國際上的傳播。1897年在第一次國際數學家大會上，霍爾維次在對解析函數的最新進展進行概括時，就對康托的集合論的貢獻進行了闡述。三年后的第二次國際數學大會上，為了捍衛集合論而勇敢戰斗的希爾伯特又進一步強調了康托工作的重要性。他把連續統假設列為20世紀初有待解決的23個主要數學之首。希爾伯特宣稱:“沒有人能把我們從康托為我們創造的樂園中驅逐出去。”特別自1901年勒貝格積分產生以及勒貝格的測度理論充實了集合論之后，集合論得到了公認，康托的工作獲得崇高的評價。當第三次國際數學大會于1904年召開時，“數學不能沒有集合論”已成為大家的看法�？低械穆曂呀浀玫脚e世公認。
5．集合論的意義
集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和已經滲透到代數、拓撲和等許多數學分支以及物和質點力學等一些自然部門，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，而且對現代數學的發展也有深遠的。
康托一生受過磨難。他以及其集合論受到粗暴攻擊長達十年�？低须m曾一度對數學失去興趣，而轉向、文學，但始終不能放棄集合論�？低心懿活櫛姸鄶祵W家、哲學家甚至神學家的反對，堅定地捍衛超窮集合論，與他的科學家氣質和性格是分不開的�？低械膫�性形成在很大程度上受到他父親的影響。他的父親喬治·瓦爾德瑪·康托在福音派新教的影響下成長起來。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那種深篤的宗教信仰強烈的使命感始終帶給他以勇氣和信心。正是這種堅定、樂觀的信念使康托義無返顧地走向數學家之路并真正取得了成功。
今天集合論已成為整個數學大廈的基礎，康托也因此成為世紀之交的最偉大的數學家之一。
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