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悖論研究的誤區與愛因斯坦的啟示
摘要：導致典型語義悖論的語句均為一個無窮嵌套的自相似結構的簡略表達式，并且具有多種含義而不是單一的確定含義，只要證偽其單義句預設，此類悖論便可以被消解。類似地，導致典型集合論悖論的語句均涉及一個并不存在的對象，只要證偽其存在預設，此類悖論同樣可被消解。
關鍵詞：典型悖論 ；預設； 自相似
Abstract：Every paradoxical sentence causing a typical semantic paradox is the short expression of an infinitely nested self-similar structure and has ambiguous meanings instead of a specific meaning. If only disconfirming the presupposition of single meaning sentence, these paradoxes will be resolved. Similarly, every paradoxical sentence causing a typical set theory paradox involve inexistent object. If only disconfirming the presupposition of existence, those paradoxes will be also resolved.
Key words：typical paradox presupposition self-similar
悖論研究的困境
斯蒂芬·里德曾這樣談及哲學家與悖論的關系：“悖論既是哲學家的惑人之物，又是他們的迷戀之物。悖論吸引哲學家就像光吸引蛾子一樣。但同時，悖論又是不能忍受的。我們做出的各種努力必然是為了消除悖論。哲學家是巫師，其任務就是拯救我們，使我們擺脫這個惡魔�！盵1]
然而，令人驚異的是，自古希臘哲人發現“說謊者悖論”以來，兩千多年過去了，“巫師”們雖使盡了渾身解數，卻始終未能為我們除去這個“惡魔”。用大邏輯學家克林的話說便是：
“問題至今懸而未決，沒有任何一種答案能得到普遍的認可。”
“至今沒有一個人能令人信服地明確指出悖論的推理中有任何謬誤，從而解除悖論�！盵2]
“悖論”簡單得連小孩子都能看懂、又有一代又一代一流思想家為之耗盡心力，竟然無人能解，這實在是人類思想史上極為罕見的現象。人們不僅要問：出路究竟何在？
愛因斯坦的啟示
愛因斯坦曾經斷言[3]：
“我們面對的重大問題無法在我們制造出這些問題的思考層次上解決。”
那么，“悖論”之所以一直無法解決，是不是由于眾“巫師”花樣翻新的“法術”始終停留在我們制造出“悖論”的思考層次上呢？回答是肯定的。
下面，我們將以“強化的說謊者悖論”為例展開討論。事實上，我們業已表明，愛因斯坦的啟示同樣適用于解決所有“典型語義悖論”——包括“說謊者悖論”、“格雷林悖論”、“理查德悖論”、號稱“語義學黑洞”的諸多“三值悖論”等，甚至還適用于解決所有的“典型悖論”。
“強化的說謊者悖論”與無窮嵌套的自相似結構
該“悖論”由一個極其簡單的句子——“本句子非真”（其中，“本句子”是指它所在的那個句子本身，為簡便計，以下將該句子簡記作L）引出：
如果L是真的，則L就不是真的；
如果L不是真的，則又有L是真的。
這個“悖論”的構成可謂簡單至極，難怪霍夫斯塔德要稱其為“一步即成的奇異的循環”了。
愛因斯坦的警語可以給我們帶來這樣的啟示，那就是，我們必須回過頭來重新審視人們是在什么思考層次上“制造”出這個怪圈的，從而跳出這一思考層次。
請注意，在“制造”怪圈時，人們苦苦追問的是，如果L是真的（以及如果L不是真的）究竟可以從中推出什么結論。這實際上便已然預設了（或者說默認了）L是一個單義句（亦即L有且僅有一個明確的含義），否則，人們便不會去直接談論L為真與否，而是會就L的某一種含義談論其真值了。換言之，“制造”怪圈的“思考層次”可以用“L是單義句”來刻畫。
依照愛因斯坦的說法，我們應該跳出這個思考層次，亦即對“L是單義句”這一成見提出質疑。
果不其然，這個預設是荒謬的。
事實上，我們完全可以用反證法嚴格地證明，L不是單義句而是多義句。該證明十分簡潔，人們以前之所以沒有想到，并不是由于它有多么復雜，而是由于始終沒有意識到“說謊者”竟然有這樣一個預設，當然就更談不上懷疑其真實性了。
證明：
不妨假設L為單義句。
此時便有，L要么為真要么非真。
如果L為真，則有L非真，矛盾。
由反證法即有，L非真。
如果L非真，則有L為真，矛盾。
由反證法即有，L并非非真。
綜合以上兩個子證明的結果便有，L既不是真的也不是非真的，矛盾，證畢。
請注意，在上述假設（亦即L的預設）下，談論L為真與否的句子便是命題，并因而成為合法的推理對象。這意味著，在該假設下將怪圈嵌入證明之中乃是合乎邏輯的。
不難看出，L無非是“L非真”的簡略寫法，兩者雖形式有別而含義并無不同。同理，后者無非是（（L非真）非真）的簡略寫法， 兩者也是形異而義同。此種分析可一直進行下去。其結果是，我們愕然發現，L原來乃是下述無窮嵌套的自相似結構的簡略寫法，兩者雖形式有別，含義卻并無不同：
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦� (L1)
顯然，這個無窮嵌套的自相似結構正像一切無窮嵌套的自相似結構一樣，還有一個奇妙的性質，那就是，無論在其外層依其構造規律再添加幾層（有限層），所得到的仍為同一個結構。
例如：
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦� (L2)
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦� (L3)
………………………………………………
與L1實際上完全相同。
容易看出，我們可以把L1理解成一個永遠也說不完的、語義不完整的語句。顯然，L1在這種含義下的真值只能是非真非假的（亦即克里普克所謂的“無根基的”）。與此同時，我們可把L2理解為是在斷言上述含義下的L1非真。由于上述含義下的L1是非真非假的，故而L2的此種含義只能是真的。類似地，我們可把L3理解為是在斷言上述含義下的L2為假。顯然，此種含義下的L3就只能是假的。此種分析可一直進行下去，以至無窮：
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦� (L1) 非真非假
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦� (L2) 真
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦妫┓钦� (L3)假
……………………………………………… 真
……………………………………………… 假
………………………………………………
請注意，L1，L2，L3，…的所有這些不同的含義實際上都是由同一個結構——
�。ǎǎā┓钦妫┓钦妫┓钦�
來表達的！這足以表明，該無窮嵌套的自相似結構實際上具有無窮多種含義，并且它在這一系列含義下的真值依次為非真非假以及真與假的交替出現。
由于L與這個無窮嵌套的自相似結構形異而義同，說它是多義句便是極易理解的了。
附帶說一下，利用無窮嵌套的自相似結構可以巧妙地解決許多看上去似乎根本無法下手的難題。讓我們以一道有趣的數學題為例試說明之:
試證如下等式：
=
乍看上去，該等式兩側的表達式都十分復雜，欲證它們相等談何容易，簡直是無從下手。然而，只要我們能夠看出，左式與右式均為無窮嵌套的結構，且其每一層子結構（表達式本身可視為第０層子結構）實際上均為同一個結構（具有以上兩個特點的結構即我們所謂的無窮嵌套的自相似結構），靈感便會突如其來。
令
，
利用上述無窮嵌套自相似結構的特點立即便有：
，
將二式分別變形即有：
a2－a－1 = 0，b2－b－1 = 0
鑒于a, b均大于0，于是，我們便有a = b，證畢。
回到我們的問題。我們已經證明了L是多義句。
至此，人們尋覓已久的答案終于出現了：既然L是多義句，“L是真的”、“L不是真的”便也成了多義句。因而，它們非但不是什么相互矛盾的命題，甚至根本就不成其為正確的推理對象（正確的推理對象只能是命題）。這意味著，“說謊者悖論”的推理純屬出于語言誤解的邏輯誤用，根本不合邏輯。這樣我們就回答了克林的問題，徹底消解了“強化的說謊者”。
現在，我們可以把“強化的說謊者悖論”修正如下：
如果“本語句非真”在一種意義上為真，則它在另一種意義上就非真；
如果“本語句非真”在一種意義上非真，則它在另一種意義上就為真。
正如我們已經看到的，這非但不復成其為什么悖論，還不失為一種“新奇”的真理。
反觀此前的諸多解法，才知道“巫師”們全都中了“惡魔”的圈套。他們均下意識地仿照怪圈本身的做法——直接就L本身而不是就其某一含義談真論假，始終沒有意識到L具有無窮多種含義。
借用愛因斯坦的話，眾“巫師”原來全都是在“制造”怪圈的思考層次上試圖“解決”怪圈。這就難怪他們始終擺脫不了“惡魔”的糾纏：要么自相矛盾、要么回到了原先的怪圈，要么跳出了“油鍋”又進“火坑”。
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關于“跳出了‘油鍋’又進‘火坑’”我們要多說兩句。如所周知，許多著名的解悖方案——如（關于“悖論性語句”的）“無意義說”、“非真非假說”以及克里普克的“無根基說”等等雖然看上去似乎解決了老“悖論”，卻會陷于針對它們而構造出的新“悖論”，從而歸于失敗。由于此類“三值悖論”似乎可以“吸收”和“消化”任何解悖方案，所以被稱作“語義學黑洞”。針對上述解悖方案而被造出的“悖論性語句”分別是：
本語句或者是假的或者是無意義的。
本語句或者是假的或者是非真非假的。
本語句或者是假的或者是無根基的。
而相應的“怪圈”則分別為：
如果“本語句或者是假的或者是無意義的”是真的，則它就是假的或者是無意義的；
如果“本語句或者是假的或者是無意義的”是假的，則它就是真的；
如果“本語句或者是假的或者是無意義的”是無意義的，則它也是真的。
如果“本語句或者是假的或者是非真非假的”是真的，則它就是假的或者是非真非假的；
如果“本語句或者是假的或者是非真非假的”是假的，則它就是真的；
如果“本語句或者是假的或者是非真非假的”是非真非假的，則它也是真的。
如果“本語句或者是假的或者是無根基的”是真的，則它就是假的或者是無根基的；
如果“本語句或者是假的或者是無根基的”是假的，則它就是真的；
如果“本語句或者是假的或者是無根基的”是無根基的，則它也是真的。
顯然，上述方案非但無法解決相應的新“悖論”，還將陷于這些新“悖論”而不能自拔。
尤為令人哭笑不得的是，即便承認“本語句為假”是悖論性的，居然依舊逃不出新“悖論”的魔爪。此時的“悖論性語句” 變成了：
本語句或者是假的或者是悖論性的。
而相應的怪圈則為：
如果“本語句或者是假的或者是悖論性的”是真的，則它就是假的或者是悖論性的；
如果“本語句或者是假的或者是悖論性的”是假的，則它就是真的；
如果“本語句或者是假的或者是悖論性的”是悖論性的，則它也是真的。
令人欣慰的是，本方案似乎可以經受住此種嚴酷的考驗，不會因重新陷入“怪圈”而歸于失敗。
請注意，此時的“悖論性語句”應為：
本語句或者是假的或者是多義句。（M）
而相應的“語義學黑洞”應為：
如果M是真的，則M或者是假的或者是多義句；
如果M是假的，則M就是真的；
如果M是多義句，則M也是真的。
不難看出，第三個推理顯然不能成立。這是因為，既然M為多義句，我們便再也不能籠統地談論M的真值，充其量也只能由“M是多義句”推出“M在其任何一種意義上都是真的”，而絕不能由此推出“M是真的”來。
典型語義悖論之統一消解原理
進一步的研究表明，包括“說謊者悖論”、“格雷林悖論”、“理查德悖論”、“語義學黑洞”在內的所有“典型語義悖論”實際上都是在一個假預設下產生的，這個預設便是，相關的“悖論性語句”（如“本句子為假”、“‘非自狀的’是非自狀的”、“i是理查德數”等）為單義句。如若不然，人們就不會簡單地談論這些句子的真值為何，而是去談論它們究竟有幾種含義以及其每一種含義的真值為何了。換言之，“典型語義悖論”的毛病并不像以前所認為的那樣，是出在前提或者推理規則上，而是出在預設上。
典型悖論之統一消解原理
不難看出，典型的“集合論悖論”原來與“典型語義悖論”一樣，也是基于一個虛假的預設，只要證明了這個預設是假的，問題也就應刃而解了。例如，就著名的“羅素悖論”而言，便是預設了“羅素集”的存在，而事實上這樣的“集合”根本就不存在，一如弗雷格晚年所意識到的那樣。類似地，“理發師悖論”和“目錄悖論”則預設了特定的理發師和目錄的存在，而諸如此類的理發師和目錄也根本不存在。
于是，我們便進而為所有“典型悖論”找到了一個非特設性的統一解，那就是證偽其一個預設并利用由此得到的“新知”使之歸于消解。
“強化的說謊者悖論”之盧卡西維茨－塔斯基推導指誤
“典型語義悖論”以及“典型悖論”的統一消解原理不僅可以用來消解“悖論”，從而捍衛邏輯乃至人類理性的可靠性，還為我們重新審視各種相關理論提供嶄新的視角。對于那些影響深遠的經典之論，這樣做無疑顯得尤為必要。
關于“強化的說謊者悖論”，盧卡西維茨給出過一個著名的推導。此一推導為塔斯基所沿用，并用來作為建立其形式語言真理論的依據。時至今日，該推導仍被視為無懈可擊，以至于被稱作是該“悖論”的“精確塑述”。然而，在我們看來，該推導實際上并不可靠。
首先，讓我們審視一下盧卡西維茨－塔斯基推導�？紤]如下句子：
本頁本行的句子不是真的。
為簡明計，我們將用S指稱這個句子。將“S”和這個句子本身分別代入公式（T）——
X是真的，當且僅當P。
中的X和P，即得如下（T）型等值式：
S是真的，當且僅當本頁本行的句子不是真的。
由于“S”與“本頁本行的句子”所指稱的乃是同一個句子，依照萊布尼茲定理便有：
S是真的，當且僅當S不是真的。
這正是“強化的說謊者悖論”。
上述推導看似天衣無縫，實則不然。它實際上從一開始就有毛�。汗剑═）并不適用于所有語句，它僅對單義句成立，而對多義句并不成立。
顯然，對任一單義句P而言，若X是其名稱，公式（T）——“X是真的，當且僅當P”顯然成立。例如：“雪是白的”是真的，當且僅當雪是白的。這正是塔斯基舉過的那個著名的例子。
然而，對任一多義句P而言，若X是其名稱，“X是真的”便也成了多義句，因而也就根本就談不上什么兩者之間的相互推出。這意味著，公式（T）——“X是真的，當且僅當P”肯定不成立。如若不然，兩者就可以相互推出了。
請注意，塔斯基推導的第一步便是將語句——“本頁本行的句子不是真的”及其名稱“S”分別代入公式（T）。不難看出，“本頁本行的句子不是真的”完全同義于“本句子非真”，屬于多義句，因而，公式（T）對該語句實際上并不成立。這意味著，將該句子及其名稱分別代入公式（T）所得到結果肯定不成立。由此可見，塔斯基推導的第一步就是錯誤的。
我們在一篇專門討論塔斯基真理論的文章中所涉及的內容比這里更多一些，共提出以下幾點不同看法[4]:
1．公式(T)僅對單義句成立,對多義句不成立;
2．由公式(T)到“說謊者悖論”之推導不可靠;
3．“說謊者悖論”并非真正意義上的悖論;
4．適當的真理定義只應蘊涵任何單義句的(T)型等值式而不是必須蘊涵任何語句的(T)型等值式;
5．在語義上封閉的語言中真理未必不可定義。
結束語
在即將結束之前，我們必須對悖論研究的諸多前輩表示敬意，因為我們從他們那里獲益良多。即便是在“制造”怪圈的思考層次上“解決”怪圈，他們也畢竟洞察到了真理的某個側面。例如，塔斯基的語言層次說似乎預示了“悖論性多義句”的語義層次。再如，克里普克的“無根基說”就“悖論性多義句”的特定語義而言也的確成立。正如我們所看到的，就連認為“悖論性語句”為真、為假、非真非假甚或既真且假的見解在某種意義上也都不無道理。能將所有這些對立的觀點統一起來，也許正是悖論研究的希望所在。
參 考 文 獻
[1] [英] 斯蒂芬·里德著，李小五譯，張家龍校，《對邏輯的思考——邏輯哲學導論》，遼寧教育出版社、牛津大學出版社，1998。
[2] 楊熙齡著《悖論文獻訪求漫記》，載《國外社會科學》1984年第12期。
[3] [美]斯科特·索普著，蔡梵谷譯，《誰壞了你的大腦：愛因斯坦的天才思考法》，南海出版公司，2002。
[4] 張鐵聲，塔斯基真理論中的幾個疑點，《晉陽學刊》1999年第4期。
責任編輯：應屆畢業生論文網
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