矩陣三角分解開題報告

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　　篇一：矩陣三角分解的探討

　　在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)中，大量涉及矩陣?yán)碚摰闹�識，很多問題都可以歸結(jié)為矩陣并最終通過矩陣來解決。經(jīng)查閱發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于矩陣三角分解的應(yīng)用研究不少，但對三角分解缺乏系統(tǒng)的研究。

　　矩陣三角分解法是指高斯消去法解線性方程組的變形解法。其實質(zhì)就是將系數(shù)矩陣A分解為兩個三角形矩陣L和U相乘，即A=LU。

　　一、矩陣的直接三角分解

　　矩陣的直角三角分解即可以不經(jīng)過消元步驟，直接將矩陣進(jìn)行分解。

　　定義1 設(shè)A∈Rn×n，若A能分解為一個下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU，則稱這種分解為矩陣A的.三角分解。

　　（1）如果A可分解為A=LDU，其中L是單位下三角矩陣，D是對角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱A可作LDU分解；

　�。�2）如果在A=LU中，L是單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，則稱此三角分解為杜利特（Doolittle）分解；

　�。�3）如果在A=LU中，L是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱此三角矩陣為克勞特（Crout）分解。

　　定理1 n階方陣A非奇異的充要條件為（或A經(jīng)行、列變換后）存在LDU分解。其中L為n階單位下三角矩陣，D為n階非奇異對角陣，U為n階單位上三角矩陣。

　　推論1 奇異矩陣不能進(jìn)行LDU分解。

　　推論2 若矩陣A有奇異主子矩陣，則A不能直接進(jìn)行LDU分解。

　　篇二：矩陣三角分解

　　第2章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法I：直接法

　　1. 矩陣

　　事實上，順序Gauss消去過程對應(yīng)一個矩陣的三角分解，即對Axb的順序Gauss消去過程的結(jié)果，把矩陣A分解成兩個三角矩陣L與U的乘積：ALU 下面來證實這一點.依次取第 k步消元的乘法

　　(k)(k)

　　likaik (ik1,k2,,n) /akk

　　(k1)(k)(k)  則直接驗證可知,第k步消元(aij)的結(jié)果等價于對Ak左乘Lk: aijlikakj

　　A(k1)LkA(k)

　　于是 ,經(jīng)過n1步消元,應(yīng)有

　　u11  u12  u13

　　u22  u23Ln1L2L1AU U (2.3.1) u33

　　這里U為上三角矩陣，另外，又容易直接驗證Lk有下列兩個基本性質(zhì)：

　　(1) Lk的逆陣存在，且有

　　1

　　11

　　1l  Lk1,kk(2.3.2)

　　1lnk

　　1

　　(2) 逆陣Lk的乘積

　　1

　　1l21111

　　L1L2Ln1= =L（單位下三角矩陣）（2.3.3）

　　1ln1ln1

　　111

　　從而對(2.3.1)式兩端依次左乘Ln1,L2,Lk可得 111

　　U=LU  AL1L2Ln1

　　L就是(2.3.3)式所示的單位下三角矩陣。這就是矩陣的三角分解或稱LU

　　分解。

　　ALU稱為A的doolittle分解

　　ALULDU=LU 稱為A的克勞特分解

　　ALDU  稱為 A的LDU分解

　　對于于有選主元和換行步驟的Gauss消去過程，也可證明它對應(yīng)于“A左乘排列矩陣P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程組（2.1節(jié)中的實例）

　　2 3 2x10

　　1  x  12  2243 1 7x3

　　解 把解法分為3個步驟：

　　①令A(yù)=LU，用Doolittle分解，即令

　　u11  u12  u13 2 3 21

　　12  2  l  lu  u212223

　　41u33 3  1 l31 l32

　　考慮A的第1行，對比右邊兩矩陣的乘積，有

　　21u11u112

　　31u12u123 21uu2

　　1313

　　此結(jié)果即U的第1行與A的第1行全同，這對一般情形也是適用的，因此，在分解計算中，此結(jié)果也可直接寫出。接著，再依次考慮A的第1列、第2行、第3列(除去已考慮過的元素)，作同樣比較有

　　l211/21l21u11

　　3lu  l3/2311131

　　2l21u12 1u22  u221/2

　　2l21u13 1u23  l233

　　1l31u12l32u22  l327

　　4l31u13l32u231u33  u3328

　　12 3  2

　　1/2  11/23 即得A

　　128 3/2  7

　　②用前推過程解下三角方程組

　　1y10y10

　　1/2   y  1得 y  1 122

　　1 3/2  7  714y3y3

　�、塾没卮�過程解上三角方程組

　　x12  3  2  x10 2

　　x  1得 x   1 1/2322

　　28 141/2x3x3

　　下面以不包括選主元和換行的Doolittle分解為例，給出解n階方程組Axb的一般計算公式及整個求解過程（分3個步驟） ①令A(yù)LU，即令

　　a1n 1 u1na11 a12 u11 u12

　　a a l1 au u2121222n222n

　　l l 1a a  aun1n1n2nnnnn1

　　利用矩陣乘法規(guī)則,并對比等式兩邊對應(yīng)元素,由A的第1行得

　　a1j1u1j  (j1，2，  ，n)a1ju1j  (j1，2，  ，n)

　　(2.3.5)

　　由A的第1列（除第1行元素外）得

　　ak1lk1u11  (k2，3，  ，n)lk1ak1/u11  (k2，3，  ，n)

　　(2.3.6)

　　依此類推，由A的第k列（1kn）（除前k1列元素外）得

　　akjlkrurjukj

　　r1

　　k1

　　ukjakjlkrurj (jk，，1，，n)

　　r1

　　k1

　　(2.3.7)

　　由A的第k列（1kn）（除前k列元素外）得

　　aiklirurklikukk

　　r1k1

　　lik(aiklirurk)/ukk (ik1，，n)

　　r1

　　k1

　　(2.3.8)

　�、谇蠼庀氯�角方程組Lyb得

　　y1b1

　　i1

　　3，，n)yibiliryr(i2，

　　r1

　�、矍蠼馍先�角方程組Uxy得

　　xnyn/unn

　　n

　　，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，

　　ri1

　　這就是用直接三角分解法求解方程組的公式，其中第①步中的前兩個公式也可合并入后兩個公式；第②，③步中的前一公式也可并入后一公式，這時當(dāng)公式中出現(xiàn)和

　　r10

　　rn1

　　n

　　時均不執(zhí)行計算，作零處理

　�。ㄔ诹兄髟狦auss消去法一節(jié)中已提過這個附注）。

　　n3

　　可以推出，Doolittle算法的乘除法次數(shù)大致為，與Gauss消3

　　去法大致相同，故就計算量而言，采用Doolittle算法解方程組并無特別優(yōu)勢（因為我們已擁有相當(dāng)高效的列主元Gauss消去法）。應(yīng)用中，主要借助直接三角分解法的處理方法來處理具有特殊情況的方程組。這就是下一節(jié)要介紹的解三角方程組的追趕法和解對稱正定方程組的平方根法。

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