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2016秋期九年級數學上學期期中檢試卷
學習的目的是為了發揮和創造，發揮和創造并不是違背基本原理，違背科學的臆造。下面是小編整理的2016秋期九年級數學上學期期中檢試卷，歡迎大家試做。
一、選擇題：(本大題共15個小題;每小題3分，共45分.)
1.下列函數中，屬于反比例函數的有( )
A. y= B. y= C. y=8﹣2x D. y=x2﹣1
2.若△ABC的周長為20cm，點D，E，F分別是△ABC三邊的中點，則△DEF的周長為( )
A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. cm
3.順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是( )
A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4.一元二次方程x2﹣3x=0的根是( )
A. x=3 B. x1=0，x2=﹣3 C. x1=0，x2= D. x1=0，x2=3
5.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=3 B. (x﹣2)2=3 C. (x﹣2)2=5 D. (x+2)2=5
6.圖中幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
7.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
8.下列說法不正確的是( )
A. 一組鄰邊相等的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 對角線互相垂直的矩形是正方形
D. 有一個角是直角的平行四邊形是正方形
9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE= ，則AC=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.反比例函數y= 圖象上的兩上點為(x1，y1)，(x2，y2)，且x1
A. y1>y2 B. y1
11.如圖，A，B是函數y= 的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，△ABC的面積記為S，則( )
A. S=2 B. S=4 C. 24
12.α，β是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根，則α2+2α+αβ的值為( )
A. 5 B. ﹣5 C. 0 D. 10
13.三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程x2﹣10x+21=0的解，則第三邊的長為( )
A. 7 B. 3 C. 7或3 D. 無法確定
14.如果關于x的一元二次方程kx2﹣ x+1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是( )
A. k< B. k< 且k≠0
C. ﹣ ≤k< D. ﹣ ≤k< 且k≠0
15.在同一直角坐標系中，函數y=kx﹣k與y= (k≠0)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空題：(本題共6個小題，每一個題3分，共18分)
16.當m= 時，關于x的方程(m﹣1) +mx+5=0是一元二次方程.
17.如果關于x的方程x2﹣x+k=0(k為常數)有兩個相等的實數根，那么k= .
18.直線y=2x與雙曲線y= 的圖象的一個交點為(2，4)，則它們的另一個交點的坐標是 .
19.新園小區計劃在一塊長為40米，寬為26米的矩形場地上修建三條同樣寬的甬路(兩條縱向、一條橫向，且橫向、縱向互相垂直)，其余部分種花草.若要使種花草的面積達到800m2，則甬路寬為多少米?設甬路寬為x米，則根據題意，可列方程為 .
20.己知反比例函數 (x>0)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 .
21.如圖，已知第一象限內的圖象是反比例函數y= 圖象的一個分支，第二象限內的圖象是反比例函數y=﹣ 圖象的一個分支，在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點A、B，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D.若四邊形ABCD的周長為8且AB
三、解答題(共計57分)
22.解方程：
(1)x2﹣2x=5
(2)2(x﹣3)=3x(x﹣3)
(3)(x+2)2=4
(4)(x﹣2)2=(2x+1)2.
23.如圖，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于點O，∠1=∠2，請你添加一個重要條件 (不再添加其它線段，不再標注或使用其它字母)，使AC=BD，并給出證明.你添加的條件是 .
24.已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m.
(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影;
(2)在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長.
25.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC、BC向點C勻速移動，它們的速度都是1米/秒，問：幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半?
26.為落實國務院房地產調控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設力度.2011年市政府共投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2013年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同.求每年市政府投資的增長率?
27.如圖，已知A(4，a)、B(﹣2，﹣4)是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y= 的圖象的交點.
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)根據圖象直接寫出：當x取何值時，反比例函數的值大于一次函數的值;
(3)求△AOB的面積.
28.已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s;點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0
(1)當t為何值時，PQ∥BC;
(2)設△AQP的面積為y(cm2)，求y與t之間的 函數關系式;
(3)是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分?若存在，求出此時t的值;若不存在，說明理由;
(4)如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形?若存在，求出此時菱形的邊長;若不存在，說明理由.
參考答案
一、選擇題：(本大題共15個小題;每小題3分，共45分.)
1.下列函數中，屬于反比例函數的有( )
A. y= B. y= C. y=8﹣2x D. y=x2﹣1
考點： 反比例函數的定義.
分析： 此題應根據反比例函數的定義，解析式符合y= (k≠0)的形式為反比例函數.
解答： 解：選項A是正比例函數，錯誤;
選項B屬于反比例函數，正確;
選項C是一次函數，錯誤;
選項D是二次函數，錯誤.
故選B.
點評： 本題考查了反比例函數的定義，注意在解析式的一般式 (k≠0)中，特別注意不要忽略k≠0這個條件.
2.若△ABC的周長為20cm，點D，E，F分別是△ABC三邊的中點，則△DEF的周長為( )
A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. cm
考點： 三角形中位線定理.
分析： 利用三角形的中位線性質得到所求三角形的三邊與原三角形的周長之間的關系，進而求解.
解答： 解：∵點D，E，F分別是△ABC三邊的中點，
∴DE、EF、DF分別等于△ABC三邊的一半，
∴DE+EF+DF= △ABC的周長=10 cm.
故選B.
點評： 本題考查了三角形的中位線定理，三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形，因而每個小三角形的周長為原三角形周長的一半.
3.順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是( )
A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
考點： 菱形的判定;三角形中位線定理;等腰梯形的性質.
分析： 由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，得出EF，EH是中位線，再得出四條邊相等，根據“四條邊都相等的四邊形是菱形”進行證明.
解答： 解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF∥AC且EF= AC，EH∥BD且EH= BD，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
同理可得GF=HG=EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形，
故選：C.
點評： 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
�、俣x;
�、谒倪呄嗟�;
③對角線互相垂直平分.
4.一元二次方程x2﹣3x=0的根是( )
A. x=3 B. x1=0，x2=﹣3 C. x1=0，x2= D. x1=0，x2=3
考點： 解一元二次方程-因式分解法.
專題： 計算題.
分析： 本題應對方程進行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式x(x﹣3)=0，再根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題.
解答： 解：x2﹣3x=0
x( x﹣3)=0
x1=0，x2=3.
故選D.
點評： 本題考查簡單的一元二次方程的解法，解此類方程只需按解一元二次方程的一般步驟按部就班即可.
5.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是( )
A. (x+2)2=3 B. (x﹣2)2=3 C. (x﹣2)2=5 D. (x+2)2=5
考點： 解一元二次方程-配方法.
專題： 計算題.
分析： 方程常數項移到右邊，兩邊加上4變形后，即可得到結果.
解答： 解：方程移項得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2+4x+4=3，即(x+2)2=3.
故選A.
點評： 此題考查了解一元二次方 程﹣配方法，利用配方法解方程時，首先將方程常數項移到右邊，二次項系數化為1，然后方程兩邊加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊化為非負常數，開方轉化為兩個一元一次方程來求解.
6.圖中幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
考點： 簡單組合體的三視圖.
分析： 找到從上面看所得到的圖形即可.
解答： 解：從上面看可得到三個矩形左右排在一起，中間的較大，故選：D.
點評： 本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.
7.如圖，小 聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
考點： 菱形的判定;線段垂直平分線的性質.
專題： 壓軸題.
分析： 根據垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關系進而得出四邊形一定是菱形.
解答： 解：∵分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四邊形ADBC一定是菱形，
故選：B.
點評： 此題主要考查了線段垂直平分線的性質以及菱形的判定，得出四邊形四邊關系是解決問題的關鍵.
8.下列說法不正確的是( )
A. 一組鄰邊相等的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 對角線互相垂直的矩形是正方形
D. 有一個角是直角的平行四邊形是正方形
考點： 正方形的判定.
專題： 證明題.
分析： 根據正方形的判定方法對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形對各個選項進行分析，從而得到答案.
解答： 解：A、矩形是對邊平行且相等，加上一組鄰邊相等，正好屬于正方形，故A選項正確;
B、菱形的對角線是相互垂直的，加上對角線相等，正好符合對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形這一性質，故B選項正確;
C、矩形的對角線是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形這一性質，故C選項正確;
D、有一個角是直角的平行四邊形，是符合矩形的判定方法，故D選項不正確;
故選D.
點評： 此題主要考查學生對正方形的判定方法的理解及運用.
9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE= ，則AC=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考點： 勾股定理;線段垂直平分線的性質.
分析： 利用線段的垂直平分線的性質計算.
解答： 解：∵DE垂直平分AB
∴∠B=∠DAE，BE=AE
∵∠B=22.5°，∠C=90°
∴∠AEC=∠CAE=45°
∴AC=CE
∴2AC2=AE2∴AC=2.
故選B.
點評： 此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.
10.反比例函數y= 圖象上的兩上點為(x1，y1)，(x2，y2)，且x1
A. y1>y2 B. y1
考點： 反比例函數圖象上點的坐標特征.
分析： 先根據反比例函數的解析式判斷出函數圖象所在的象限，再進行比較即可.
解答： 解：∵反比例函數y= 中k=2>0，
∴此函數圖象的兩個分支分別位于一、三象限，并且在每一象限內y隨x的增大而減小，
當(x1，y1)，(x2，y2)在同一象限時，
∵x1
∴y1>y2;
當(x1，y1)在第三象限，(x2，y2)在第一象限時，
∵x1
∴y1
故選D.
點評： 本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵.
11.如圖，A，B是函數y= 的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，△ABC的面積記為S，則( )
A. S=2 B. S=4 C. 24
考點： 反比例函數系數k的幾何意義.
專題： 壓軸題.
分析： 本題可根據A、B兩點在曲線上可設出A、B兩點的坐標以及取值范圍，再根據三角形的面積公式列出方程，即可得出答案.
解答： 解：設點A的坐標為(x，y)，則B(﹣x，﹣y)，xy=2.
∴AC=2y，BC=2x.
∴△ABC的面積=2x×2y÷2=2xy=2×2=4.
故選B.
點評： 解決本題的關鍵是根據反比例函數關系式得到所求三角形的兩直角邊的積.
12.α，β是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根，則α2+2α+αβ的值為( )
A. 5 B. ﹣5 C. 0 D. 10
考點： 根與系數的關系;一元二次方程的解.
專題： 計算題.
分析： 先根據一元二次方程的解的定義得到α2+2α﹣5=0，即α2+2α=5，于是α2+2α+αβ可化簡為5+αβ，再根據根與系數的關系得到αβ=﹣5，然后利用整體代入的方法計算.
解答： 解：∵α是方程x2+2x﹣5=0的根，
∴α2+2α﹣5=0，
即α2+2α=5，
∴α2+2α+αβ=5+αβ，
∵α，β是方程x2+2x﹣5=0的兩個實數根，
∴αβ=﹣5，
∴α2+2α+αβ=5﹣5=0.
故選C.
點評： 本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2= ，x1x2= .也考查了一元二次方程的解.
13.三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程x2﹣10x+21=0的解，則第三邊的長為( )
A. 7 B. 3 C. 7或3 D. 無法確定
考點： 解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關系.
專題： 計算題.
分析： 將已知的方程x2﹣10x+21=0左邊分解因式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解為3或7，利用三角形的兩邊之和大于第三邊進行判斷，得到滿足題意的第三邊的長.
解答： 解：x2﹣10x+21=0，
因式分解得：(x﹣3)(x﹣7)=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三邊是x2﹣10x+21=0的解，
∴三角形的第三邊為3或7，
當三角形第三邊為3時，2+3<6，不能構成三角形，舍去;
當三角形第三邊為7時，三角形三邊分別為2，6，7，能構成三角形，
則第三邊的長為7.
故選A
點評： 此題考查了利用因式分解法求一元二次方程的解 ，以及三角形的邊角關系，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化兩個一次方程來求解.
14.如果關于x的一元二次方程kx2﹣ x+1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是( )
A. k< B. k< 且k≠0
C. ﹣ ≤k< D. ﹣ ≤k< 且k≠0
考點： 根的判別式.
分析： 根據方程有兩個不相等的實數根，則△>0，由此建立關于k的不等式，然后就可以求出k的取值范圍.
解答： 解：由題意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k>0，
∴ ≤k< ，且k≠0.
故選：D.
點評： 此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.同時考查了一元二次不等式的解法.
15.在同一直角坐標系中，函數y=kx﹣k與y= (k≠0)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
考點： 反比例函數的圖象;一次函數的圖象.
專題： 數形結合.
分析： 根據k的取值范圍，分別討論k>0和k<0時的情況，然后根據一次函數和反比例函數圖象的特點進行選擇正確答案.
解答： 解：
解法一：系統分析
�、佼攌>0時，
一次函數y=kx﹣k經過一、三、四象限，
反比例函數的y= (k≠0)的圖象經過一三象限，
選項中沒有符合條件的圖象，
�、诋攌<0時，
一次函數y=kx﹣k經過一、二、四象限，
反比例函數的y= (k≠0)的圖象經過二四象限，
故D選項的圖象符合要求，
解法二：具體分析
A、由一次函數的圖象得出k<0，而反比例函數的開口方向也應該是在第二、四象限即：k<0，不符合題意，故A選項錯誤;
B、由一次函數的圖象得出k>0，而反比例函數的開口方向也應該是在第一、三象限即：k>0，不符合題意，故B選項錯誤;
C、由一次函數的圖象得出k>0，即與y軸的交點在y軸負半軸，不符合題意，故C選項錯誤;
D、由一次函數的圖象得出k<0，與y軸的交點也在正半軸，反比例函數圖象也是在第二四象限，符合題意，
故D選項正確;
故選：D.
點評： 此題考查反比例函數的圖象問題;用到的知識點為：反比例函數與一次函數的k值相同，則兩個函數圖象必有交點;一次函數與y軸的交點與一次函數的常數項相關.
二、填空題：(本題共6個小題，每一個題3分，共18分)
16.當m= ﹣1 時，關于x的方程(m﹣1) +mx+5=0是一元二次方程.
考點： 一元二次方程的定義.
分析： 根據一元二次方程的定義解答.
解答： 解：∵(m﹣1) +mx+5=0是一元二次方程，
∴m2+1=2，m﹣1≠0，
解得m=﹣1，
故答案為﹣1.
點評： 本題考查了一元二次方程的概念.只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.
17.如果關于x的方程x2﹣x+k=0(k為常數)有兩個相等的實數根，那么k= .
考點： 根的判別式.
分析： 根據根的判別式為零時，有兩個相等的實數根，就可以求出k的值.
解答： 解：∵a=1，b=﹣1，c=k，
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×k=1﹣4k=0，解得k= .
點評： 本題比較容易，考查一元二次方程根的判別式為零時有兩個相等的實數根的應用.
18.直線y=2x與雙曲線y= 的圖象的一個交點為(2，4)，則它們的另一個交點的坐標是 (﹣2，﹣4) .
考點： 反比例函數圖象的對稱性.
分析： 反比例函數的圖象是中心對稱圖形，則與經過原點的直線的兩個交點一定關于原點對稱.
解答： 解：因為直線y=2x與雙曲線y= 的交點均關于原點對稱，
所以另一個交點坐標為(﹣2，﹣4).
點評： 本題考查反比例函數圖象的中心對稱性，較為簡單，容易掌握.
19.新園小區計劃在一塊長為40米，寬為26米的矩形場地上修建三條同樣寬的甬路(兩條縱向、一條橫向，且橫向、縱向互相垂直)，其余部分種花草.若要使種花草的面積達到800m2，則甬路寬為多少米?設甬路寬為x米，則根據題意，可列方程為 (40﹣2x)(26﹣x)=800 .
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.
專題： 幾何圖形問題.
分析： 把甬道移到小區的上邊及左邊，根據草坪的面積得到相應的等量關系即可.
解答： 解：草坪可整理為一個矩形，長為(40﹣2x)米，寬為(26﹣x)米，
即列的方程為(40﹣2x)(26﹣x)=800，
故答案為(40﹣2x)(26﹣x)=800.
點評： 本題考查一元二次方程的運用，弄清“花草的總長度和總寬度”是解決本題的關鍵.
20.己知反比例函數 (x>0)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 m<1 .
考點： 反比例函數的性質.
分析： 根據反比例函數的性質可得m﹣1<0，解不等式即可.
解答： 解：∵反比例函數 (x>0)，y隨x的增大而增大，
∴m﹣1<0，
解得：m<1.
故答案為：m<1.
點評： 此題主要考查了反比例函數的性質，對于反比例函數y= ，當k>0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小;當k<0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大.
21.如圖，已知第一象限內的圖象是反比例函數y= 圖象的一個分支，第二象限內的圖象是反比例函數y=﹣ 圖象的一個分支，在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點A、B，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D.若四邊形ABCD的周長為8且AB
考點： 反比例函數綜合題.
專題： 綜合題.
分析： 設A點坐標為(a， )，利用AB平行于x軸，點B的縱坐標為 ，而點B在反比例函數y=﹣ 圖象上，易得B點坐標為(﹣2a， )，則AB=a﹣(﹣2a)=3a，AC= ，然后根據矩形的性質得到
AB+AC=4，即3a+ =4，則3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得a1= ，a2=1，而AB
解答： 解：點A在反比例函數y= 圖象上，設A點坐標為(a， )，
∵AB平行于x軸，
∴點B的縱坐標為 ，
而點B在反比例函數y=﹣ 圖象上，
∴B點的橫坐標=﹣2×a=﹣2a，即B點坐標為(﹣2a， )，
∴AB=a﹣(﹣2a)=3a，AC= ，
∵四邊形ABCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形，
∴AB+AC=4，即3a+ =4，
整理得，3a2﹣4a+1=0，(3a﹣1)(a﹣1)=0，
∴a1= ，a2=1，
而AB
∴a= ，
∴A點坐標為( ，3).
故答案為：( ，3).
點評： 本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式;利用矩形對邊相等的性質建立方程以及用因式分解法解一元二次方程.
三、解答題(共計57分)
22.解方程：
(1)x2﹣2x=5
(2)2(x﹣3)=3x(x﹣3)
(3)(x+2)2=4
(4)(x﹣2)2=(2x+1)2.
考點： 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-直接開平方法;解一元二次方程-配方法.
專題： 計算題.
分析： (1)方程利用配方法求出解即可;
(2)方程利用因式分解法求出解即可;
(3)方程利用直接開平方法求出解即可;
(4)方程利用直接開平方法求出解即可.
解答： 解：(1)方程配方得：x2﹣2x+1=6，即(x﹣1)2=6，
開方得：x﹣1=± ，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ;
(2)方程變形得：(3x﹣2)(x﹣3)=0，
解得：x1= ，x2=3;
(3)開方得：x+2=2或x+2=﹣2，
解得：x1=0，x2=﹣4;
(4)開方得：x﹣2=2x+1或x﹣2=﹣2x﹣1，
解得：x1=﹣3，x2= .
點評： 此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關鍵.
23.如圖，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于點O，∠1=∠2，請你添加一個重要條件(不再添加其它線段，不再標注或使用其它字母)，使AC=BD，并給出證明.你添加的條件是 ∠C=∠D .
考點： 全等三角形的判定與性質.
專題： 開放型.
分析： 添加的條件是∠C=∠D，根據AAS推出△ABC≌△DAB，根據全等三角形的性質推出即可.
解答： 添加的條件是∠C=∠D，
證明：∵在△ABC和△DAB中
，
∴△ABC≌△DAB(AAS)，
∴AC=BD，
故答案為：∠C=∠D
點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，注意：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一.
24.已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3m.
(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影;
(2)在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE的長.
考點： 平行投影;相似三角形的性質;相似三角形的判定.
專題： 計算題;作圖題.
分析： (1)根據投影的定義，作出投影即可;
(2)根據在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例;構造比例關系 .計算可得DE=10(m).
解答： 解：(1)連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BC于點F，線段EF即為DE的投影.
(2)∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF.
∴ ，
∴
∴DE=10(m).
說明：畫圖時，不要求學生做文字說明，只要畫出兩條平行線AC和DF，再連接EF即可.
點評： 本題考查了平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例.要求學生通過投影的知識并結合圖形解題.
25.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC、BC向點C勻速移動，它們的速度都是1米/秒，問：幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半?
考點： 一元二次方程的應用.菁 優網版權所有
專題： 幾何動點問題.
分析： 根據題意∠C=90°，可以得出△ABC面積為 ×6×8，△PCQ的面積為 (8﹣x)(6﹣x)，設出t秒后滿足要求，則根據△PCQ的面積是△ABC面積的一半列出等量關系求出t的值即可.
解答： 解：設經過x秒后△PCQ的面積是Rt△ACB面積的一半，
則： =12，
解得x1=12(舍去)，x2=2.
答：經2秒△PCQ的面積是Rt△ACB面積的一半.
點評： 本題考查了三角形面積的計算方法，找到等量關系式，列出方程求解即可.要注意結合圖形找到等量關系.
26.為落實國務院房地產調控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設力度.2011年市政府共投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2013年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同.求每年市政 府投資的增長率?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 增長率問題.
分析： 首先設每年市政府投資的增長率為x.根據到2013年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，列方程求解.
解答： 解：設每年市政府投資的增長率為x，
根據題意，得：2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5，
整理，得：x2+3x﹣1.75=0，(3分)
解之，得：x= ，
即x1=0.5，x2=﹣3.5(舍去).
答：每年市政府投資的增長率為50%.
點評： 此題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為a(1+x)n，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數據，x是增長率.
27.如圖，已知A(4，a)、B(﹣2，﹣4)是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y= 的圖象的交點.
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)根據圖象直接寫出：當x取何值時，反比例函數的值大于一次函數的值;
(3)求△AOB的面積.
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題.
分析： (1)A(4，a)、B(﹣2，﹣4)是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y= 的圖象的交點，利用待定系數法，將點B(﹣2，﹣4)代入反比例函數關系式求出m的值，再將A的橫坐標代入，求出A的縱坐標，然后將A、B點的坐標代入一次函數y=kx+b，組成二元一次方程組，求出一次函數的關系式;
(2)根據圖象，觀察反比例函數的值大于一次函數的值，從而確定x的取值范圍;
(3)先求出一次函數與x軸交點C的坐標，再根據S△AOB=S△AOC+S△COB，計算即可求解.
解答： 解：(1)把B(﹣2，﹣4)代入反比例函數y= ，
得到：﹣4= ，
解得m=8.
故所求反比例函數關系式為：y= ;
∵點A(4，a)在反比例函數的圖象上
∴a= =2，
∴點A的坐標為(4，2).
∵點A(4，2)和點B(2，4)都在一次函數y=kx+b的圖象上，
∴ ，
解得 .
∴一次函數的解析式為y=x﹣2;
(2)由圖象可得，反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍是：x<﹣2或0
(3)設直線y=x﹣2與x軸相交于點C，
令y=0，得x=2，
則點C的坐標是(2，0)，
所以S△AOB=S△AOC+S△COB= ×2×2+ ×2×4=6.
點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點，主要熟練掌握用待定系數法求函 數的解析式.掌握數形結合的思想.
28.已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s;點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0
(1)當t為何值時，PQ∥BC;
(2)設△AQP的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數關系式;
(3)是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分?若存在，求出此時t的值;若不存在，說明理由;
(4)如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形?若存在，求出此時菱形的邊長;若不存在，說明理由.
考點： 相似形綜合題.
專題： 壓軸題.
分析： (1)當PQ∥BC時，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關于AP，AB，AQ，AC的比例關系，我們觀察這四條線段，已知的有AC，根據P，Q的速度，可以用時間t表示出AQ，BP的長，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數值代入比例關系式中，即可得出t的值.
(2)求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據Q的速度和時間t表示出來.關鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求.AP的長可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數關系式.
(3)如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入(2)的面積與t的關系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻.
(4)我們可通過構建相似三角形來求解.過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三 角形ABC相似，得出關于BP，PN，AB，AC的比例關系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP′C是菱形，PQ=PC，根據等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據AC=AQ+QM+MC來求出t的值.求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了.
解答： 解：(1)在Rt△ABC中，AB= ，
由題意知：AP=5﹣t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴ = ，∴ = ，
∴t= .所以當t= 時，PQ∥BC.
(2)過點P作PH⊥AC于H.
∵△APH∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PH=3﹣ t，
∴y= ×AQ×PH= ×2t×(3﹣ t)=﹣ t2+3t.
(3)若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ.
∴(5﹣t)+2t=t+3+(4﹣2t)，解得t=1.
若PQ把△ABC面積平分，則S△APQ= S△ABC，即﹣ +3t=3.
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分.
(4)過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四邊形PQP′C是菱形，那么PQ=PC.
∵PM⊥AC 于M，
∴QM=CM.
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC.
∴ = ，∴ = ，
∴PN= ，
∴QM=CM= ，
∴ t+ t+2t=4，解得：t= .
∴當t= s時，四邊形PQP′C是菱形.
此時PM=3﹣ t= cm，CM= t= cm，
在Rt△PMC中，PC= = = cm，
∴菱形PQP′C邊長為 cm.
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