超靜定結構的受力分析及特性

超靜定結構的受力分析及特性

　　超靜定結構的幾何特征是除了保證結構的幾何不變性所必須的約束外，還存在多余約束。下面yjbys小編為大家準備了關于超靜定結構的文章，歡迎閱讀。

　　一、超靜定結構的特征及超靜定次數

　　超靜定結構的靜力特征是僅由靜力平衡條件不能唯一地確定全部未知反力和內力。

　　結構的多余約束數或用靜力平衡條件計算全部未知反力和內力時所缺少的方程數稱為 結構的超靜定次數。

　　通常采用去除多余約束的方法來確定結構的超靜定次數。即去除結構的全部多余約 束，使之成為無多余約束的幾何不變體系，這時所去除的約束數就是結構的超靜定次數。

　　去除約束的方法有以下幾種：

　　(一)切斷一根兩端鉸接的直桿(或支座鏈桿)，相當于去除一個約束。

　　(二)切斷一根兩端剛接的桿件，相當于去除三個約束。

　　(三)切斷——個單鉸(或支座固定鉸)，相當于去除二個約束;切斷一個復鉸(連接n根桿件的鉸)，相當于去除2(n—1)個約束。

　　(四)將單剛結點改為單鉸節點，相當于去除一個約束;將連接n個桿件的復剛節點改為復鉸節點，相當于去除n—1個約束。

　　去除一個超靜定結構多余約束的方法可能有幾種，但不管采用哪種方法，所得超靜定次數一定相同。

　　去除圖4—1a所示超靜定結構的多余約束的方法之一如圖4—1b所示，去除六個多余約束后，就成為靜定結構，故為超靜定六次。再用其他去除多余約束的方案確定其超靜定次數，結果是相同的。

　　二、力法的基本原理

　　(一)力法基本結構和基本體系

　　去除超靜定結構的多余約束，代以相應的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 稱為多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余約束后的結構稱為力法基本結構。力法基本結構在各多余未知力、外荷載(有時還有溫度變化、支座位移等)共同作用下的體系稱為力法基本體系，它是用力法計算超靜定結構的基礎。

　　選取力法基本結構應注意下面兩點：

　　1.基本結構一般為靜定結構，即無多余約束的幾何不變體系。有時當簡單超靜定結構的解為已知時，也可以將它作為復雜超靜定結構的基本結構，以簡化計算。

　　2.選取的基本結構應使力法典型方程中的系數和自由項的計算盡可能簡便，并盡量使較多的副系數和自由項等于零。

　　(二)力法典型方程及其意義

　　根據原結構在荷載、溫度變化、支座位移等因素作用下產生的已知位移與基本結構在各多余未知力以及與原結構相同的荷載、溫度變化、支座位移等因素作用下產生的位移必須相同的條件，由疊加原理，可得n次超靜定結構的力法典型方程為

　　式中 Xi 為多余未知力(i=1、2、…、，2);δij釓為基本結構僅由Xj=1 為多余未知力(j=1、2、…、n)產生的沿Xi 方向的位移、為基本結構的柔度系數;Δip、Δit、Δic分別為基本結構僅由荷載、溫度變化、支座位移產生的沿Xi 方向的位移，為力法典型方程的自由項;Δi為原超靜定結構在荷載、溫度變化、支座位移作用下的已知位移(如結構邊界處的已知支座位移條件、桿件變形后的已知位移連續條件等)。

　　力法典型方程(4—1)也稱為變形協調方程。其中第一個方程表示基本結構在n個多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移等共同作用下，在Xl作用點沿Xl作用方向產生的位移，等于原結構的已知相應位移Δ1;第二個方程表示基本結構在n個多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移共同作用下，在X2作用點沿X2作用方向產生的位移，等于原結構的已知相應位移Δ2。其余各式的意義可按此類推。

　　各多余未知力Xi的大小和方向必須受力法典型方程的約束，多余約束力與變形協調條件是一一對應的，故滿足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真實的解。

　　同一超靜定結構，可以選取不同的基本體系，其相應的力法典型方程也就表達了不同的變形協調條件。不管選取哪種基本體系，求得的最后內力總是相同的。

　　圖4—2a所示體系為一次超靜定結構，如取圖4—2b所示的基本體系，則力法典型方程為δ11X1 +Δ1p=0;如取圖4—2c所示的基本體系，則力法典型方程為δ11X1 +Δ1p= —X1l/EA。

　　圖4-2

　　對于圖4—2d所示的一次超靜定結構，如取圖4—2e、f所示的基本體系，則相應的力法典型方程分別為δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1/kN。

　　圖4—3a所示一次超靜定結構的支座B有已知的豎向位移a，如取圖4—3b所示的基本體系，力法典型方程為δ11X1 = -a;如取圖4—3c所示的基本體系，力法典型方程為δ11X1 +Δ1C=0。

　　圖4-3

　　(三)系數和自由項的計算

　　力法典型方程中的系數和自由項都是靜定基本結構僅由單位力、實際荷載、溫度變化、支座位移產生的位移，它們均可按上述各自的定義，用相應的位移計算公式計算。

　　力法典型方程中的系數δii稱為主系數，它們恒為正值;δij(i ≠ j)稱為副系數，它們可為正值、負值、也可為零，根據位移互等定理有δij=δji;各自由項的值可為正值、負值、也可為零。

　　(四)計算超靜定結構的內力

　　由力法典型方程求出各多余未知力Xi 后，將Xi 和原荷載作用在基本結構上，再根 據求作靜定結構內力圖的方法，作出基本結構的內力圖就是超靜定結構的內力圖。或者也 可通過下述疊加方法，計算結構的最后內力。

　　式中Mi、Vi、Ni分別為Xi=1引起的基本結構的彎矩、剪力、軸力;Mp、Vp、Np分別為荷載引起的基本結構的彎矩、剪力、軸力。

　　對梁和剛架，通常的做法是先根據式(4—2)中的第一式求出各桿端彎矩，再用直桿彎矩圖的疊加法作出各桿的彎矩圖，然后根據彎矩圖由靜力平衡條件求出各桿端的剪力和軸力，并據此作出剪力圖和軸力圖。

　　三、超靜定結構的位移計算

　　超靜定結構的位移計算仍應用變形體系虛功原理和單位荷載法。在具體計算時，為了使計算簡便，其虛設狀態(即單位力狀態)可采用原超靜定結構的任一靜定基本結構。位移計算的一般公式如下。

　　(一)荷載作用引起的位移計算公式

　　(二)溫度變化引起的位移計算公式

　　(三)支座位移引起的位移計算公式

　　上面三式中的Mi、Ni、Vi和Ri為虛設狀態(原超靜定結構的靜定基本結構)的彎矩、軸力、剪力和支座反力;M、N、V、Mt、Nt、Vt、Mc、Nc、Vc分別為原超靜定結構在荷載、溫度變化、支座位移作用下產生的彎矩、軸力、剪力。

　　與靜定結構一樣，在符合一定的條件時，超靜定結構的位移計算也可采用簡化(實用)計算公式，以及采用圖形相乘法代替積分計算。

　　四、超靜定結構內力圖的校核

　　超靜定結構的內力圖必須同時滿足靜力平衡條件和原結構的變形條件。

　　1.平衡條件校核

　　根據求得的反力和內力，取整個結構或結構的任一部分為隔離體，校核其是否滿足靜 力平衡條件。

　　2.變形條件校核

　　根據已求得的內力計算超靜定結構的位移，校核其是否與原結構的已知位移條件一致。 對于具有無鉸閉合外形的結構，在荷載作用下，校核任一切斷截面兩側的相對轉角時，位移條件的校核公式可簡化為

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