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2017小升初經(jīng)典數(shù)學(xué)行程問(wèn)題及解析
為幫助同學(xué)們解決數(shù)學(xué)行程問(wèn)題困惑，yjbys小編為大家準(zhǔn)備以下這八道題目及解析，每道都非常非常經(jīng)典，每一道題目既簡(jiǎn)單有趣又頗具啟發(fā)性。希望對(duì)小升初的學(xué)生有幫助。
1、甲、乙兩人分別從相距 100 米的 A 、B 兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一只狗從 A 地出發(fā)，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問(wèn)在此過(guò)程中狗一共跑了多少米?
這可以說(shuō)是最經(jīng)典的行程問(wèn)題了。不用分析小狗具體跑過(guò)哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發(fā)到相遇需要 20 秒，在這 20 秒的時(shí)間里小狗一直在跑，因此它跑過(guò)的路程就是 120 米。
說(shuō)到這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，故事可就多了。下面引用某個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)家八卦帖子： John von Neumann 曾被問(wèn)起一個(gè)中國(guó)小學(xué)生都很熟的問(wèn)題：兩個(gè)人相向而行，中間一只狗跑來(lái)跑去，問(wèn)兩個(gè)人相遇后狗走了多少路。訣竅無(wú)非是先求出相遇的時(shí)間再乘以狗的速度。 Neumann 當(dāng)然瞬間給出了答案。提問(wèn)的人失望地說(shuō)你以前一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)這個(gè)訣竅吧。 Neumann 驚訝道：“什么訣竅?我就是把狗每次跑的都算出來(lái)，然后計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)……”
2、假設(shè)你站在甲、乙兩地之間的某個(gè)位置，想乘坐出租車(chē)到乙地去。你看見(jiàn)一輛空車(chē)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地從甲地駛來(lái)，而此時(shí)整條路上并沒(méi)有別人與你爭(zhēng)搶空車(chē)。我們假定車(chē)的行駛速度和人的步行速度都是固定不變的，并且車(chē)速大于人速。為了更快地到達(dá)目的地，你應(yīng)該迎著車(chē)走過(guò)去，還是順著車(chē)的方向往前走一點(diǎn)?
在各種人多的場(chǎng)合下提出這個(gè)問(wèn)題，此時(shí)大家的觀點(diǎn)往往會(huì)立即分為鮮明的兩派，并且各有各的道理。有人說(shuō)，由于車(chē)速大于人速，我應(yīng)該盡可能早地上車(chē)，充分利用汽車(chē)的速度優(yōu)勢(shì)，因此應(yīng)該迎著空車(chē)走上去，提前與車(chē)相遇嘛。另一派人則說(shuō)，為了盡早到達(dá)目的地，我應(yīng)該充分利用時(shí)間，馬不停蹄地趕往目的地。因此，我應(yīng)該自己先朝目的地走一段路，再讓出租車(chē)載我走完剩下的路程。
其實(shí)答案出人意料的簡(jiǎn)單，兩種方案花費(fèi)的時(shí)間顯然是一樣的。只要站在出租車(chē)的角度上想一想，問(wèn)題就變得很顯然了：不管人在哪兒上車(chē)，出租車(chē)反正都要駛完甲地到乙地的全部路程，因此你到達(dá)乙地的時(shí)間總等于出租車(chē)駛完全程的時(shí)間，加上途中接人上車(chē)可能耽誤的時(shí)間。從省事兒的角度來(lái)講，站在原地不動(dòng)是最好的方案!
不過(guò)不少人都找到了這個(gè)題的一個(gè) bug ：在某些極端情況下，順著車(chē)的方向往前走可能會(huì)更好一些，因?yàn)槟慊蛟S會(huì)直接走到終點(diǎn)，而此時(shí)出租車(chē)根本還沒(méi)追上你!
3、某人上午八點(diǎn)從山腳出發(fā)，沿山路步行上山，晚上八點(diǎn)到達(dá)山頂。不過(guò)，他并不是勻速前進(jìn)的，有時(shí)慢，有時(shí)快，有時(shí)甚至?xí)Ｏ聛?lái)。第二天，他早晨八點(diǎn)從山頂出發(fā)，沿著原路下山，途中也是有時(shí)快有時(shí)慢，最終在晚上八點(diǎn)到達(dá)山腳。試著說(shuō)明：此人一定在這兩天的某個(gè)相同的時(shí)刻經(jīng)過(guò)了山路上的同一個(gè)點(diǎn)。
這個(gè)題目也是經(jīng)典中的經(jīng)典了。把這個(gè)人兩天的行程重疊到一天去，換句話說(shuō)想像有一個(gè)人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個(gè)人從山頂走到了山腳。這兩個(gè)人一定會(huì)在途中的某個(gè)地點(diǎn)相遇。這就說(shuō)明了，這個(gè)人在兩天的同一時(shí)刻都經(jīng)過(guò)了這里。
4、船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快?
這是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題了。答案是，船在靜水中更快一些。注意船在順?biāo)械膶?shí)際速度與在逆水中的實(shí)際速度的平均值就是它的靜水速度，但由前一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，實(shí)際的總平均速度會(huì)小于這個(gè)平均值。因此，船在流水中往返需要的總時(shí)間更久。
考慮一種極端情況可以讓問(wèn)題的答案變得異常顯然，頗有一種荒謬的喜劇效果。假設(shè)船剛開(kāi)始在上游。如果水速等于船速的話，它將以原速度的兩倍飛速到達(dá)折返點(diǎn)。但它永遠(yuǎn)也回不來(lái)了……
5、 甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米?
答案是 19 米。“乙勝丙 10 米”的意思就是，等乙到了終點(diǎn)處時(shí)，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”的意思就是，甲到了終點(diǎn)處時(shí)，乙只到了 90 米處，而此時(shí)丙應(yīng)該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。
6、 哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退后 1 米與弟弟比賽，那么誰(shuí)會(huì)獲勝?
答案是，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要的時(shí)間等于弟弟跑 99 米需要的時(shí)間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下的 1 米里，哥哥超過(guò)了弟弟并獲得勝利。
7、 如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒(假設(shè)上山和下山走的是同一條山路)。那么，你全程的平均速度是多少?
這是小學(xué)行程問(wèn)題中最容易錯(cuò)的題之一，是小孩子們死活也搞不明白的問(wèn)題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設(shè)全程是 S 米，那么上山的時(shí)間就是 S/2 ，下山的時(shí)間就是 S/6 ，往返的總路程為 2S ，往返的總時(shí)間為 S/2 + S/6 ，因而全程的平均速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其實(shí)，我們很容易看出，如果前一半路程的速度為 a ，后一半路程的速度為 b ，那么總的平均速度應(yīng)該小于 (a + b) / 2 。這是因?yàn)�，你�?huì)把更多的時(shí)間花在速度慢的那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實(shí)上，總的平均速度應(yīng)該是 a 和 b 的調(diào)和平均數(shù)，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調(diào)和平均數(shù)總是小于等于算術(shù)平均數(shù)的。
8、你需要從機(jī)場(chǎng)的一號(hào)航站樓走到二號(hào)航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動(dòng)傳送帶。假設(shè)你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實(shí)際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速度。如果在整個(gè)過(guò)程中，你必須花兩秒鐘的時(shí)間停下來(lái)做一件事情(比如蹲下來(lái)系鞋帶)，那么為了更快到達(dá)目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在哪里更好? 很多人可能會(huì)認(rèn)為，兩種方案是一樣的吧?然而，真正的答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會(huì)更快一些。這是因?yàn)�，傳送帶能給你提供一些額外的速度，因而你會(huì)希望在傳送帶上停留更久的時(shí)間，更充分地利用傳送帶的好處。因此，如果你必須停下來(lái)一會(huì)兒的話，你應(yīng)該在傳送帶上多停一會(huì)兒。
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