軸對稱知識點總結
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一、軸對稱與軸對稱圖形:
1.軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱,兩個圖形中的對應點叫做對稱點,對應線段叫做對稱線段。
2.軸對稱圖形:如果一個圖形沿著一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸。
注意:對稱軸是直線而不是線段
3.軸對稱的性質:
(1)關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;
(2)如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線;
(3)兩個圖形關于某條直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上;
(4)如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
4.線段垂直平分線:
(1)定義:垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。
(2)性質:①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
、诘揭粭l線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。
注意:根據線段垂直平分線的這一特性可以推出:三角形三邊的垂直平分線交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等。
5.角的平分線:
(1)定義:把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.
(2)性質:①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
、诘揭粋角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.
注意:根據角平分線的性質,三角形的三個內角的平分線交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.
6.等腰三角形的性質與判定:
性質:
(1)對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸,或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸,或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;
(2)三線合一:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;
(3)等邊對等角:等腰三角形的兩個底角相等。
說明:等腰三角形的性質除“三線合一”外,三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質,如:①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;
③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。
判定定理:如果一個三角形的兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊)。
7.等邊三角形的性質與判定:
性質:(1)等邊三角形的三個角都相等,并且每個角都等于60°;
(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質,并且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對稱軸。
判定定理:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
說明:等邊三角形是一種特殊的三角形,容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線、三條角平分線)都相等。
二、中心對稱與中心對稱圖形:
1.中心對稱:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠和另外一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心,這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2.中心對稱圖形:在平面內,一個圖形繞某個點旋轉180°,如果旋轉前后的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做它的對稱中心。
3.中心對稱的性質:(1)關于中心對稱的兩個圖形是全等形;
(2)在成中心對稱的兩個圖形中,連接對稱點的線段都經過對稱中心,并且被對稱中心平分;
(3)成中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或在同一直線上)且相等。
三、軸對稱與中心對稱的區別與聯系:
軸對稱 中心對稱
有一條對稱軸——直線 有一個對稱中心——點
圖形沿對稱軸對折(翻折180º)后重合 圖形繞對稱中心旋轉180 º后重合
對稱點的連線被對稱軸垂直平分 對稱點連線經過對稱中心,且被對稱中心平分
四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形:
軸對稱圖形:線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓
對稱軸的條數:角有一條對稱軸,即該角的角平分線;等腰三角形有一條對稱軸,是底邊的垂直平分線;等邊三角形有三條對稱軸,分別是三邊上的垂直平分線;菱形有兩條對稱軸,分別是兩條對角線所在的直線,矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線;
中心對稱圖形:線段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓
對稱中心:線段的對稱中心是線段的.中點;平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點,圓的對稱中心是圓心。
說明:線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。
五、坐標系中的軸對稱變換與中心對稱變換:
點P(x,y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x,-y),關于y軸對稱的點P2的坐標為(-x,y)。關于原點對稱的點的坐標P3的坐標是(-x,-y)這個規律也可以記為:關于y軸(x軸)對稱的點的縱坐標(橫坐標)相同,橫坐標(縱坐標)互為相反數。 關于原點成中心對稱的點的,橫坐標為原橫坐標的相反數,縱坐標為原縱坐標的相反數,即橫坐標、縱坐標同乘以-1。
常見考法
(1)判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸,對稱軸的條數、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心;(2)利用垂直平分線性質、角平分線性質證明一些結論;(3)利用等腰三角形三線合一性質證明線段相等、線段垂直;(4)直接證明某一個三角形是等腰三角形;(4)軸對稱圖形的實際應用(如鏡子中的軸對稱問題、解決一些折疊問題、還有求幾個線段之和最短問題)。
誤區提醒
(1)把軸對稱與軸對稱圖形的概念、中心對稱與中心對稱圖形的概念混淆;(2)把軸對稱與全等混淆;(3)找軸對稱圖形的對稱軸不全、不準;(4)在解有關等腰三角形問題時,沒有進行分類討論,造成漏解。
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