微分方程在材料學科研究中的應用論文
【摘要】微分方程是一項有效的數學工具，在材料科學研究中得到了廣泛的應用。本文綜述了微分方程在研究材料力學性能、物理性能、熱傳導和質量傳輸方面的應用。
【關鍵詞】微分方程材料學科應用
微分方程指含有自變量、自變量的未知函數及其導數的等式，是常微分方程和偏微分方程的總稱。20世紀以來，隨著大量邊緣科學的產生和發展，也出現不少新型的微分方程。20世紀70年代隨著數學向化學和生物學的滲透，出現了大量的反應擴散方程。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數，其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數，其個數隨方程的階數而定。微分方程在物理學、力學中的重要應用，不在于求方程的任一解，而是求得滿足某些補充條件的解，稱為求解定解問題。
隨著微分方程的發展和在各學科研究中的應用，微分方程也逐漸應用于材料科學的研究。本文綜述了微分方程在研究材料的力學性能、物理性能、熱傳導和質量傳輸方面的應用情況。
一微分方程在研究材料力學性能中的應用
1．在研究材料受力變形中的應用
王秀芬利用微分方程模型對溫控材料受力彎曲變形進行了研究。結合數學建模思想及材料力學相關知識對溫控設備受力時發生彎曲變化情況，通過實例建立微分方程模型，通過對模型的分析研究尋求溫控設備能自動調節溫度的最佳規律。她利用求解細桿彎曲變形的問題時常建立撓曲軸近似微分方程然后求解，帶入已知條件后推導出模型。通過對模型的分析她發現，當細桿發生彎曲時，彈簧與鋼臂的夾角不為90°，且彈簧的長度相對于未發生變形時發生變化，因此她結合已知條件后改進了模型。通過計算結果發現，相對誤差很小，實際值與計算值吻合程度很高，模型相當準確，可用于精確求解細桿的彎曲情況。
金偉良利用微分方程。研究了銹蝕鋼筋混凝土梁受彎承載力計算模型。綜合考慮銹蝕鋼筋混凝土梁中材料性能的退化和鋼筋與混凝土黏結性能的退化，根據梁截面平衡方程和鋼筋與混凝土的變形協調方程建立梁中受拉鋼筋軸力微分方程，給出了微分方程的滑移邊界條件和鋼筋軸力連續邊界條件，定義梁彎曲破壞的兩種極限狀態：混凝土壓碎和鋼筋屈服，通過計算推導出鋼筋軸力微分方程通過研究發現，模型計算結果與試驗結果吻合很好，說明本模型的計算結果是可靠的，可以將本模型的計算結果運用到實際的工程之中，為混凝土結構耐久性評估提供了理論基礎。
2．在研究材料裂紋中的應用
謝秀峰通過求解一類線性偏微分方程的邊值問題，引入新的應力函數，采用復變函數方法推出了正交異性復合材料板I型裂紋尖端附近的應力場的計算公式，對正交異性復合材料板的I型裂紋尖端應力場進行了有關的力學分析。他通過在應變協調方程中引入新的應力函數，代入邊界條件后求解方程組后得到正交異性復合材料板Ⅰ型裂紋尖端附近的應力場。通過他的方法得到的Ⅰ型裂紋尖端附近的應力場的理論計算公式與楊維陽編著的《復合材料斷裂復變方法》一書中給出的應力場的理論計算公式完全相同，因此驗證他的結論是正確的。
彭英針對材料參數在厚度方向按任意函數形式連續變化的功能梯度材料薄板，利用新的分層方法，求出各向異性、正交異性功能梯度材料板平面斷裂基本方程并結合各向同性功能梯度材料及各向同性、各向異性、正交異性復合材料對方程作了全面討論。結果表明復合材料和功能梯度材料以及各向同性、各向異性、正交異性之間既有區別又有密切聯系，新的分層方法非常有效。
3．在研究材料加工中受力的應用
李茂林研究金屬材料表面微凸結構對模具與工件接觸區域上的非局部摩擦效應，在楔形模寬條料超塑性拉拔加工問題中，首次采用Oden等提出的非局部摩擦定律代替經典的庫侖摩擦定律，利用主應力法或工程法建立了相應問題的微積分形式的力平衡方程。在簡化的情況下，采用攝動法求得所論問題的近似解，并分析了影響應力的非局部效應的相關因素。在宏觀范圍內考慮非局部效應，庫侖摩擦模型得到的結果與非局部摩擦模型得到的結果較接近，而從Oden等人的分析可知，非局部摩擦模型反映了金屬材料微凸結構對應力分布的非局部效應，比庫侖摩擦模型更客觀地反映了摩擦形成的'實際情況。
宋清華提出一種薄壁件變參數銑削系統動態特性分析方法�？紤]銑削過程中的自激振動和強迫振動，建立了薄壁件變參數（模態質量、模態阻尼和模態剛度）銑削系統周期延遲微分方程，借助有限單元法和最小二乘法，獲得加工過程中工件系統固有頻率和模態質量隨刀具位置的連續變化曲線。研究結果顯示，薄壁件加工過程中，材料切除對系統動態特性有重要影響。實際加工時，應采取相應措施避免劇烈振動的發生。
4．在研究材料振動中的應用
毛柳偉基于Kelvin模型粘彈性材料本構關系導出了阻尼層合板的動力學微分方程組，給出了四邊簡支阻尼層合板的固有頻率和損耗因子的解析解。與文獻結果比較表明，將Kelvin模型應用于黏彈結構的動力特性問題求解，計算模型簡便，且計算結果比常復數模型更為精確。
王明祿假設功能梯度材料梁的材料性能沿厚度方向呈冪律形式連續變化。
在平截面假設下，考慮由材料非均勻性引起的中面應變的前提下，建立了熱機載荷作用下功能梯度材料彈性梁自由振動的運動微分方程，求解了兩端簡支等四種常見邊界條件下功能梯度材料梁的固有頻率和主振型�？梢苑治鎏荻葏祂對于FGM梁固有頻率和主振型的影響，從而反過來作為設計不同使用要求的FGM梁的理論依據。
二微分方程在研究材料加工溫度場模擬中的應用
常士家應用感應加熱理論，利用麥克斯韋方程組和導熱微分方程，并引入復矢量磁位，建立了電磁場與溫度場耦合的有限元數學模型，利用大型通用有限元分析軟件ANSYS對注射機料筒的感應加熱過程進行了模擬分析。他建立的計算溫度場的基本方程，以基本方程為基礎討論了感應加熱有限元分析中溫度場與電磁場耦合、料筒材料物理參數對溫度依賴性等關鍵技術問題的處理方法。分析了料筒的感應透熱過程，得到了料筒內的溫度分布狀況以及溫度隨時間的變化規律。模擬分析了頻率、線圈電流強度系數等參數對料筒溫度控制的影響。通過得到的結果，了解了感應加熱溫升過程和特點，從而為注射機料筒溫度控制提供一定的依據以及為感應加熱器的參數選取提供一定的指導作用。 隋大山在Fourier導熱微分方程的基礎上，充分考慮材料和邊界條件等參數的非線性特征，采用等價比熱容法處理結晶潛熱，建立導熱微分方程。利用有限元法求解砂型鑄造凝固過程的瞬態溫度場。并對砂型鑄造工藝進行測溫實驗，分別得到鑄件、型芯和砂型內的測溫曲線，測量溫度與相應的計算溫度基本吻合。針對計算溫度與測量溫度的偏差情況，從測溫誤差和計算模型兩方面進行了分析，提出了降低熱電偶測溫誤差和提高模擬精度的具體措施。
三微分方程在研究材料濃度擴散中的應用
王崇琳討論了擴散微分方程在幾種條件下的積分解，采用辛普生法計算誤差函數erf（z）的定積分值，就2個不同濃度無限源的擴散狀況，進行了數值計算。描述了計算擴散分布的FORTRAN程序框圖，給出了C、Co、Cr、Mn、Mo、Ni及V等合金元素在Fe中擴散分布的計算結果，在通常燒結溫度1120~1150℃下，Mo和Ni等元素的擴散距離僅1～3μm。因此，若加入合金元素粉末，其粉末粒度應控制于此值，以保證擴散的均勻性，但需控制合金顆粒的尺度。
廖福成利用傅里葉級數展開，將穩態晶體生長的濃度控制方程轉化為一階常微分方程組。利用對于一階常微分方程組性質的討論，得到了穩態晶體生長控制方程的精確解。理論結果可用于揭示穩態胞晶體周期性增長的本質特性。
四微分方程在研究材料物理性能參數中的應用
江穎以各向同性球形鐵磁顆粒和單軸異向性的二維鐵磁薄膜為例，探討了如何通過Landau－Lifshitz－Gilbert非線性微分方程來推導出材料磁導率。實際應用的效果表明利用LLG非線性微分方程推導出來的磁導率表示式具有相當的廣泛性。如果在微磁學范疇，很多其他的效應，如邊界的雜散場、磁疇影響以及磁相互作用等，會表現得更加顯著而且必須加以考慮。在這種情況下，則需要對LLG方程進行更全面的解析研究。同時，利用基于LLG方程的專用科學分析軟件來進行微磁學的數值模擬的研究將大大推動LLG方程在微磁學領域的應用。
宛農在Larson－Miller方程基礎上，利用全微分和狀態函數特征，建立了金屬材料在給定溫度條件下持久強度與高溫瞬時強度之間關系的數學模型，并成功用于T91耐熱鋼和GH2871高溫合金持久強度的預測。
五結語
微分方程廣泛用于研究材料的力學性能（如受力變形、加工過程受力、振動和裂紋）、物理性能（如求磁導率、高溫強度）、熱傳導（溫度場模擬）和質量傳輸（濃度擴散）。通過檢驗表明，計算結果與實際吻合較好，有一定的實際應用價值；微分方程還未全面應用于材料科學研究的各個方面，有待于進一步擴大微分方程在材料科學研究中的應用。
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