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地理空間的數學定義及定位型地圖符號的制約因素分析
【摘 要】 在地心坐標系中定義地球橢球面的基礎上，給出了空間的定義。根據拓撲學中的同胚映射，覆蓋空間等理論，推導了制圖區域、地圖投影、制圖物體及其在橢球面和地圖平面上的定位等概念，通過對地圖符號平面定位的單一性與其對應的制圖物體性質多樣性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制圖目的的不同而分別表示多種事物的性質或量值的基本原理，闡釋了對同一制圖區域進行多專題制圖的客觀條件和基礎。
【關鍵詞】 地心坐標系 地球橢球 地理空間 制圖區域 制圖物體 地圖符號
以地球質心為大地坐標原點的坐標系，即地心坐標系。這種坐標系統是闡明地球上各種地理和物理現象，特別是空間物體運動的本始參考系。但長期以來，由于人類不能精確確定地心的位置，因而較少使用。目前利用空間技術等手段，已可在cm量級上確定它的位置，因此采用地心坐標系在當今既有必要性也有了可能性�，F在利用空間技術得到的定位和影像等成果，客觀上都是以地心坐標系為參照系[4]。使用地心坐標系，在國際上已成為一種明顯的趨勢。
地球空間事物的定位，涉及地球的形狀和一定的坐標系。全球范圍內，可用地心大地坐標系和地心笛卡爾坐標系表示點的空間位置。
大地水準面包圍的地球形體比較接近真實的地球形狀，但仍是一個有100m起伏幅度的復雜曲面，不能用簡單的數學方程表示，更難以在此面上進行簡單而又精密的坐標和幾何計算[5]。為此，測繪科學中常以一個接近地球整體形狀的旋轉橢球代替真實的地球形體，這個旋轉橢球稱為參考橢球。在現代大地測量中，規定參考橢球是等位橢球或水準橢球，即參考橢球與正常橢球一致。一個等位旋轉橢球由四個常數定義，這四個常數常是赤道半徑a，地心引力常數GM，動力形狀因子J2，旋轉速度ω。考慮到便于利用GPS與國際兼容，我國建議采用參考橢球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418×；ω=7292115×。根據這四個常數，可以得出一系列導出常數[6]。根據地球的扁率f，可以求出橢球短半徑b，從而可用數學方程表示一個已知長半徑a和短半徑b的橢球。
地心大地坐標系是使地球質心作橢球中心，以過所求點c的橢球面法線與赤道面的夾角φ為緯度，以過c點的子午面與初始子午面的二面角λ為經度，以c點沿法線到橢球面的距離為大地高h，用c點的三個分量φ、λ、h表示其空間位置。地心大地坐標也即三維地理坐標系，記作DL。對于任何地球空間點c，總存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球橢球的長半徑a和短半徑b，可定義橢球面。
定義1 地球橢球面 對c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若點集滿足：
S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）
則稱S為以a為長半徑，b為短半徑的橢球面。若a，b分別為地球參考橢球的長、短半徑，則稱S為地球橢球面。
以地心O為坐標原點，選擇一個以赤道平面上一組相互垂直的直線為X、Y軸，而以地軸為Z軸，這樣的坐標系稱地心笛卡爾坐標系，記作DK。若以地球參考橢球的長半徑a和短半徑b作常數，則地球橢球面也可定義。
定義2 地球橢球面 存在地球橢球的長半徑a和短半徑b，若點集滿足：
S=｛c|c=（x，y，z）∈DK∧ =1｝ （2）
則稱S為以a為長半徑，b為短半徑的地球橢球面，其中2b即地軸兼旋轉軸[7]。
地理科學研究的對象是地球的表層，具體地講，上至同溫層底部，下到巖石圈的上部，指陸地住下5～6公里，海洋往下4公里。設地球表層的上限為H1，下限為H2，從而得h的定義域（適用于“地球表層”概念）為h∈[-H2，H1]。根據h的取值，以h=0的橢球面為界面，可定義地球內空間和外空間。
定義3 地球內空間 滿足條件
IntK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧-H2≤h＜O｝ �。�3）
的點集，稱為地球內空間。
地球內空間即指巖石圈頂部至地球橢球面之間部分。由橢球面與真實地球表面之間的差異，因此存在雖在地表之上卻因其處于橢球面內側而屬于地球內空間的點集。
定義4 地球外空間 滿足條件
ExtK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧O＜h≤H1｝ （4）
的點集，稱為地球外空間。
地球外空間即是地球橢球面到同溫層底部的空間。由于橢球面與自然面之間的差異，同樣存在雖在地表之下卻因處于橢球面外側而屬地球外空間的點集。
定義5 地理空間 地球內空間EntK、地球橢球面S和地球外空間EntK的并集，稱為地理空間，即
K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL （5）
由于地理空間的上下限H1和-H2的選擇與地球表層概念相適應，因此，地理空間的定義也就是地球表層的數學表述。
定義6 同胚 設X和Y是兩個隨意的拓撲空間，并設f：X→Y。如果f是連續的雙一一函數，并且它的反函數f -1也是連續的，那么，f就叫做空間X到空間Y上的同胚或拓撲映射或拓撲變換；此時空間X與空間Y叫做同胚的，記作X≈Y。
如果f是空間X到空間Y上的一個同胚，AX，并且B=f（A），則稱點集A與點集B是同胚的，記作A≈B；此時又稱點集B是點集A在同胚f之下的同胚象或拓撲象。如果f是空間X到空間Y上的一個同胚，g是空間Y到空間Z上的一個同胚，則復合函數gf是X到Z上的一個同胚。空間的同胚關系≈是一個等價關系[5]。地貌等高線圖形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。
定義7 覆蓋空間 設E和B是連通且局部道路連通的拓撲空間，f∶Ｅ→Ｂ是連續滿射，如果對于每個c∈Ｂ，存在c的道路連通開域U，使得ｆ把ｆ -1（U）的每個通路連通分支同胚地映射成U，則稱（E，ｆ）是Ｂ的覆蓋空間，這種U稱為容許鄰域，Ｂ稱為底空間，ｆ稱為覆蓋投影[10，11]。
設c為橢球面Ｓ上的任意點，c∈S，過c點能且僅能作一條法線ｈC指向地理空間Ｋ。由于大地高ｈ以橢球面為起算面，故地球外空間ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球內空間IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。顯然，地球空間的橢球面法線hC與橢球面上的投影點c是雙一一函數。現把覆蓋空間定義應用于地球外空間ExtK與地球橢球面S：令覆蓋定義中的E=ExtK，B=S，f是連續滿射，c∈S，|f -1（c）=hC∈ExtK，這里S是底空間，（f， ExtK）是S的覆蓋空間，f為 覆蓋投影，c是hC在f下的同胚象或拓撲象。同理可說明地球內空間與地球橢球面的關系。
定義8 制圖區域 設A為S的子集，AS，如果A是S中一個連通的開集，那末，A就叫做S中的一個區域。點c∈A，c的鄰域U的原象f -1（U） ∈f -1（A）被作為制圖對象時，則稱f -1（U）為制圖物體。f -1（A）在橢球面上的投影A稱為制圖區域。c的鄰域U在球面上的外在特征有三種：
1） 當U=c為單一點時，稱c為f -1（U）的點狀定位；
2） 當U=lC，lC表現為線狀連通集時，稱lC為f -1（U）的線狀定位；
3） 當U=SC，SC表現為面狀連通集時，稱SC為f -1（U）的面狀定位。
空間中的物體f -1（U）在橢球面上的定位形式關聯著它在地圖平面上的定位形式并決定著其關聯的地圖符號的類型。
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