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經濟學中的數學意義
意義是一個漢語詞語，一指人或事物所包含的思想和道理；二指內容，三指美名、聲譽；四指作用；五指價值。以下是小編為大家整理的經濟學中的數學意義，僅供參考，歡迎大家閱讀。
數學意義：
改革開放以來，西方經濟學作為市場經濟運行描述的基本理論，對我們經濟學學習和研究的作用越來越重要。從學習和研究的角度看，似乎可以明顯感覺到，西方經濟學（本文中主要指新古典（綜合）主義經濟學）的理論體系、思維方式和推理方式的深刻特點之一表現在其數學性方面，也正是這一特征使人們常常把經濟學看成是最接近自然科學的社會科學學科。因此，對一般數學的意義、數學與理論的科學性、數學在經濟學研究中的意義和具體作用、及數學的限制等基本問題的深入思考，將有助于我們進一步認識和把握西方經濟學的基本思想和理論特征，更好地學習、借鑒和認識西方經濟學。
一、數學與理論的科學性
眾所周知，數學作為一個獨立的知識體系起源于古希臘，兩千多年特別從牛頓時代以來，數學及其具體應用——自然科學取得了輝煌的成就。長期以來人們習慣認為，能充分應用數學的學科或領域等價于科學，數學所顯示出的人類理性能力、根源和力量在諸多自然科學領域也似乎得到了完美的體現。這自然使人們猜想，為什么不能把數學方法應用到社會學科領域去尋求其真理呢？西方經濟學也許正是這種猜想的一個主要結果或實驗。數學究竟能給經濟學帶來什么呢？在進一步分析經濟學中數學的意義之前，我們應先來概略了解一下幾個數學基礎問題。
1、數學是什么？
簡單回答這個問題是十分抽象的。例如若干著名學者認為，“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系”。數學“是研究抽象結構的科學““數學是結構及其模型的科學”等等。數學在理論上的概括和科學的實際發展中，一般給人們的印象是，與其他學科相比，數學的特點可歸結為更高度的抽象性、更嚴密的邏輯性和更廣泛的應用性。因此，說數學是一切科學的根本基礎，是科學的皇后，是十分自然的。
稍具體說，首先，數學概念是抽象的典范，幾乎它的所有基本概念在現實世界中是找不到的，例如，點、線、面；自然數、實數、虛數和四元數等等；它們是抽象的，又是深刻的，極其奇妙地、精確地刻畫自然事物的某種基本特征。其次，數學是嚴密邏輯推理的象征，其方法論的核心是演繹法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理；其實質含義是，若公理為真，則可保證其演繹的結論為真；從邏輯上看，演繹法是清晰、合理和完美的，由數學推出的顯然是毋庸置疑的正確結論。最后，由上面兩點，數學應用的廣泛性是不言自明的。
人的認識是無止境的，由于數學在科學發展中至高無上的地位，人們自然要進一步問，數學是絕對真理嗎？亦即數學的抽象性是絕對無誤的嗎？數學的嚴密邏輯性是絕對可靠的嗎？數學應用的廣泛性是無限的嗎？稍考察一下數學發展的歷史可以看出，人們在這個問題的認識是不斷變化發展的。
2、數學的真理性問題
十九世紀二十年代之前，數學的發展是順利的，人們對于數學的真理性是確認的。特別是十五～十八世紀，數學的順利發展達到高峰；這一時期一大批數學家同時在在數學和自然科學方面做出了驚人的成就，如哥白尼、開普勒、伽里略、笛卡爾、惠更斯和牛頓等。他們從許多方面證明了自然界的一些現象與數學定律相吻合，最突出是牛頓力學；所有這些極大地加強了數學作為絕對真理的信念，人們相信上帝設計了宇宙，而數學的作用就是揭示出這些設計。
然而十九世紀二十年代非歐幾何的提出和集合論中悖論的出現，使整個科學界震動，它迫使數學家們從根本上改變了對數學性質的認識，以及數學和物質世界關系的理解，由此引出數學巨人之間關于數學基礎的新數學方法而展開激烈的爭論。如由弗雷格、羅素和懷特海為代表的邏輯主義認為，邏輯法則是一個真理體系，而所有的數學是可以由邏輯推導出來。同一時期，以克羅內克、鮑萊爾、彭家勒和貝爾為代表的直覺主義卻認為，從邏輯原理所推導出來的東西，不比直覺感悟的更可信，數學可能是從經驗開始的，但并不真正源于經驗，而是來源于心智（經驗只是喚醒心智）。第三大派系大衛·希爾伯特領導的形式主義認為，數學實際上是一些形式系統，各有各自的概念，各自的公理，各自的推導定理的法則，以及各自的定理，把每個演繹系統發展起來，就是數學。最后是以策梅羅、弗蘭克爾為代表的集合論公理化學派，他們把解決悖論的方法寄托于集合論的公理化，即對所容許的集合類型加以限制，同時又使它們有充分的性質作為一切數學分析的基礎。
到了本世紀三十年代，這四種彼此獨立、不同的關于數學基礎的方法已形成并相互對峙，人們再也不能說某一個數學定理已證明了，這時還必須加上是依哪個標準它才是被證實了。人們不禁要問這些數學是相容的嗎？除了直覺主義認為人的直覺能保證相容性外，這個問題對于數學和科學來說，變得越來越重要和嚴峻。然而1931年著名數學家哥德爾得出了震驚世界的兩個結論，其中對于數學基礎問題研究具有毀滅性的結論是：任何數學系統，只要它能包含整數的算術，其相容性就不可能通過這幾個基礎學派（邏輯主義、形式主義和集合論公理化學派）采用的邏輯原理而建立。另一個結論也可稱作“哥德爾不完備性定理”，它斷言：不僅數學的全部，甚至任何一個系統，都不可能用類似哥德爾使用的能算術化的數學和邏輯公理系統加以概括，因為任何這樣的公理系統都是不完備的。哥德爾的結論實際上表明，我們使用的任何數學方法都不可能借助于安全的邏輯原理來證實其相容性，亦即表明數學結果的絕對確定性和有效性已喪失。從更深刻的意義上說，歌德爾不完備性定理是對排中律的否定；即有些命題既不能被證明，也不能被證偽，而又有意義。
3、數學的有效性
現在數學已發展這樣一個階段，邏輯主義、直覺主義、形式主義和集合論公理化主義，它們都有著某種不同的哲學基礎，而難以形成某種共同的基礎。而這似乎意味著這樣一個事實：并不是只有一種而是有多種數學；亦即數學并不是一個獨一無二的、嚴格的邏輯結構；它也許是一個人造體系，是一系列經過邏輯篩選、抽象和組織、是某種人所公認的非凡的直覺；這些直覺是我們的感覺器官、大腦和外部世界相結合的產物。任何一種數學或其分支都只是提供了某種可用的理論，根本意義上說數學也是一門自然科學，任何為其尋求絕對基礎的企圖是注定要失敗的。
當然，自然科學發展的歷史也表明，與任何其它實驗科學相比，數學作為一種精確而有效的思維方法，相對來說是最為廣泛和深刻、有效的；其作用也更為基本、更為重要。例如，在其它科學的歷史發展中，都曾經發生過若干次根本性的變化，而在數學中，大部分邏輯和經典分析已使用了許多世紀（雖理論上存在某些深刻的問題），現在仍然還適用。從這個意義上說，數學又的確不同于其它科學，我們可以把它稱為準經驗知識。
數學在自然科學的應用中為什么能得出非凡的實際結論？為什么那些長而復雜的純推理過程（純推理是獨立于經驗的）能產生意想不到而又準確的結論？現在并沒有令人滿意的解釋。一種解釋是，人類試圖從復雜的自然現象中猜想（提煉）出某些簡單的系統，其性質能用數學來描述，正是人類這種抽象化能力產生了對自然令人驚異的數學描述。我們也必須清醒地看到，這種成功是有條件限制的，例如，數學成功的領域主要是物理世界或無生命的物質，其方法論是把物理世界用長度、質量、重量和時間等簡單概念來刻畫，也許由于其行為是可重復的，因而用數學描述是有效的。另一方面，其代價是犧牲自然世界的豐富性；數學只能是描述了自然某些簡單化了的方面和過程，決不是全部。另外，在政治學、社會學、心理學、經濟學和生物學等領域，數學的有效性就非常不明顯了，這自然是由于研究對象的不同性質和復雜性所決定的。
如何認識數學的真理性問題，如何看待數學在自然科學中的有效性問題，如何理解數學在社會科學等領域中的作用問題，等等；這類的問題大都屬于哲學的范疇；雖然實難形成確定性結論，但通過學習和思考得到的有關認識，對于我們學習和認識西方經濟學是十分有益的，能使我們的看法更加深刻起來。
二、經濟學中數學應用意義的初步思考
西方經濟學從亞當·斯密《國富論》起的二百多年來，已形成了一個龐大而較嚴密的理論體系。在整個社會科學中，經濟學的理論形式、研究方法是公認為最接近自然科學的。我認為這實際上表明，數學作為一種理論信念、方法論和研究手段，十分明顯地體現在西方經濟學的基本特征中。下面具體展開談一談。
1、經濟學能成為一門科學嗎？
提出這個問題至少有兩個層次的含義：一是經濟學和一般自然科學的研究對象有根本差別嗎？二是西方經濟學是如何具體進行科學研究的？從方法論的角度看，某些自然科學成功發展的歷史似乎明確告訴人們，一門學科要想成為一門科學，起碼要解決兩個基本問題：一是要有堅強的科學信念，即堅信其理論研究對象的客觀性或研究對象客觀規律性；二是數學方法要成為研究的主要方法；這兩個問題實際上是不可分離的。眾所周知，經濟學是研究關于人類行為的學科，而人類行為是很難簡單看作是客觀的。因此，西方經濟學首先要解決其研究對象的客觀性問題。
西方經濟學在討論經濟學的研究對象時，往往引用最多的著名論述是約翰·梅納德·凱恩斯的觀點，在其名著《政治經濟學的范圍與方法》一書中，他指出“一門實證科學是關于是什么這一類問題的系統的知識體系；而一門規范科學(或稱管理科學)……關于應該是什么這一類問題的標準的系統的知識體系。”這一觀點把經濟學分為實證經濟學和規范經濟學，同時強調實證經濟學作為整個經濟學基礎的重要地位；美國著名經濟學家弗里德曼也在其著名論文《實證經濟學的方法論》中指出：“從原則上說，實證經濟學是獨立于任何特別的倫理觀念或規范判斷的。簡言之，實證經濟學是，或者說可以是一門‘客觀的’科學，這里‘客觀’一詞的含義完全等同于任一自然科學上的定義�！蔽鞣浇洕鷮W長期的發展過程中，模仿自然科學及方法的信念是十分堅定的，僅從其內容和研究方法看也是有效的。這一點從許多基本概念及思想就可見一斑，例如效用、邊際、理性經濟人、均衡、最大和最小原則、需求定律、理性預期等等。從方法論看，這些基本概念設定的一個核心思想是避免或消除經濟關系中的不確定因素，從而使其研究能得到確定性或“規律性”的東西。又例如，“均衡”作為西方經濟學中的核心概念和思想，是從亞當·斯密“看不見的手”的思想演變而來，實際上“看不見的手”的思想并不完全等同于“均衡”思想，原思想更深刻、更復雜和更寬泛得多，“均衡”是對其的簡化，即去除其不確定性部分，形成某種確定性或新的明確信念�！熬狻彼坪踅o我們更多的是某些確定性的結論或信念；（在某些非常嚴格的假設條件下）如供求定律、均衡價格的存在性、一般均衡、局部均衡、邊際收益等于邊際成本，等等。“均衡”是什么？是經濟運行的基本特征或基本狀態嗎？我認為，“均衡”是一種精巧的理論構思，更是一種“科學的信念”，在解釋和理解某些常規經濟現象時是有分析力的，但更重要地是希望符合一般科學研究特征的要求。
如果我們期望（或假設）把人類經濟現象能夠作為科學研究的對象，或者說具有這樣的堅定信念，則西方經濟學的確是有成效的和富有智慧的。因此，經濟學是否為一門科學，在很大程度上是一個信念問題，或者說其信念將產生巨大的影響。當然，把人類經濟問題轉化為科學研究的問題，光有信念是不夠的，還必須有具體的思想、創造和方法；從方法論的角度看，也就是要解決數學在經濟學中應用的基本思想及其假設。
2、經濟學中應用數學的思想及其假設
按傳統流行的科學觀，一門學科達到科學的一個重要標準是看它能否充分運用數學方法，西方經濟學認為這對經濟學也應是對的。另一方面，經濟現象與自然現象又非常不同，它是一種與人、人類（文化、政治）歷史進化、人與人關系等等一系列復雜的社會因素有關的、比自然現象更加復雜、不穩定的現象。把這樣一種現象人為地轉化為科學研究的對象，并達到數學能運用之，的確需要堅定的科學信念和具體的研究手段；其中最重要的就是，如何確定西方經濟學中的有關基本假設及其思想。根據作者的初步認識，西方經濟學中基本假設及其思想可概括如下：
�。�1）注重靜態忽略動態。如“均衡”思想，強調靜態均衡狀態（特征）是一般經濟運行的本質特征及其在經濟學中的中心地位，而忽略實際經濟運行過程及其不確定因素的分析。西方經濟學相信任何經濟運行過程是圍繞均衡進行的，均衡是實際運行軌跡的中心線；均衡是客觀的、確定的，即使實際經濟運行可以是不穩定的但最終總是收斂于均衡的。正是基于這種認識，西方經濟學研究中不考慮諸如歷史文化、人際制度等復雜、易變的動態因素；著重研究靜態的物與物、人與物的關系，而不考慮人與人的關系。例如，“均衡”這個概念沒有歷史、文化和制度的差異涵義，像一個物理定律（均衡概念及思想實際上來源于比較靜態力學的研究思想）；又例如，西方經濟學中經常出現的一個假設條件“假設其他條件不變”也是這一思想的具體反映。
�。�2）強調理性拒絕非理性。實際經濟中，影響人的行為的因素是十分復雜的，如歷史的、文化的、進化的、心理的和經濟的等等因素混合其中；簡言之，是理性因素和非理性因素綜合作用的。科學（數學）的力量主要在于理性分析，而對非理性等的分析是無力的，理性等價于邏輯和確定性而排除不確定性。西方經濟學自然也不能例外，在分析人類經濟行為方面，可以說極端地相信和強調理性因素在人們行為中的作用，而完全避免非理性因素的作用。例如，西方經濟學中的若干基本假設：理性經濟人、效用的量化、生產者和消費者只追求最大利潤和效用、生產者和消費者具有完全信息（知識）、供求定律、理性預期等等，十分明顯的反映了這一思想；這些有關完全理性的假設在經濟學中的核心作用是不言而喻的。
�。�3）追求確定性避免不確定性。自然科學的成功及其信念就是其理論在一定時空內的確定性；從方法上講，上面兩點的思想及有關假設的具體作用，實際上也是追求經濟理論上的確定性，亦即為其理論的數學應用作信念及方法上的準備。另一方面，在具體研究中，則進一步表現為追求理論上確定性的形式，亦即分析、結論的幾何和數學模型形式。值得注意的是，得到這些確定性的形式又需要具體滿足各種數學方法正確運用的種種假設條件，哪怕是完全不現實的。例如，有關均衡的若干假設、市場上存在充分多的生產者和消費者以保證他們都只是價格的接受者、生產要素和商品的完全可替代性、供求曲線的設定、邊際概念等價于導數、變量之間某種形式的“線性型”關系假設、規模收益不變假設等。
總之，可以理解的是，為了實現經濟學的科學信念，方法上必須引入數學思想和方法，亦即演繹法：從創造性假設出發──經邏輯推理（數學推理）──得到確定性結論。值得指出的是，經濟學中演繹法（數學）成功應用的關鍵，是巧妙和創造性地構思其演繹的前提──假設條件。我認為深入認識和理解其主要的假設及其思想，是認識西方經濟學方法論及其數學意義的關鍵所在。
3、經濟學中應用數學的方法論意義
西方經濟學方法論的演變經歷了一個長期過程，西方學者認為，十九世紀其思想基礎是西方科學哲學中的“證實主義”，而二十世紀則是“證偽主義”；“證偽主義”科學方法論的核心思想是徹底反對歸納法而推崇演繹法，而數學是演繹法的典范。我認為演繹法及其思想在經濟學中應用的方法論意義，簡單說具體表現在三個方面：即創造假設、數學推理、檢驗理論。下面稍稍展開談一下。
�。�1）創造假設條件是理論假說演繹推理的關鍵和必要條件。確立假設條件一個最基本目的，就是要創造性地簡化現實經濟現象的復雜性，從而確立現象間聯系假說的核心結構，并建立演繹推理確定性的前提。一般來說，不同假設下所形成的分析思路、分析范圍和分析方法往往是不同的；不明確提出假設條件，理論本身將顯得含糊不清，無法形成理論討論中的共同規范，往往會造成對同一理論認識和理解的不同，容易引起理論基本概念的混亂，這將阻礙理論研究中科學探討統一基礎的形成。另外，值得注意的是，西方經濟學的假設條件中往往包含了其理論假說演繹的大前提；這里所謂“大前提”即是理論假說或假設條件的核心；它實際上蘊涵了理論假說的基本思想、主要結論和演繹的最終前提。應指出的是，根據“證偽主義”的思想，所謂“大前提”的形成是研究者“自由創造”的結果，而無需什么嚴密的邏輯推理或經驗事實依據；實際上，不同理論或學派的主要思想分歧或創新，往往表現在其演繹“大前提”的不同。因此，我們應特別認識到假設條件在經濟學中的方法論意義。
�。�2）演繹法的典型推理形式是數學推理。數學推理的一個基本特點是其前提（即假設條件）應十分確定和嚴格的；經濟學中的假設條件往往確立了邏輯推理的“大前提”及其變量間的具體數量關系、演繹方向等；西方經濟學中演繹推理的基本過程可簡要概括為：提出假設條件(大前提)——邏輯推理(數學推理)——結論(并檢驗結論)。根據演繹法的特點，如果推理的結論不正確或通不過檢驗，則問題一定出在假設條件部分，而與邏輯推理過程無關；因為演繹法中，結論只是其假設條件(大前提)必然的邏輯結果，邏輯推理(特別是數學推理)一般是不會出問題的，這正是演繹法邏輯清楚或簡單的科學方法論意義所在。這個意義告訴我們，任何經濟理論存在問題是肯定的，也是十分明確的，即問題肯定在假設條件中，理論的發展或創新在于對原有假設條件的修正或創新。
�。�3）理論的可檢驗性是演繹法的目的�！白C偽主義”判斷理論科學性的唯一標準是看理論是否具有可證偽性或可檢驗性；一般來說，假設條件和數學推理將使經濟學研究的對象明確具體、變量之間的關系數量化、以及保證邏輯推理過程的嚴密性，最終將保證理論結論的具體明確，亦即具有經驗的可檢驗性（西方經濟學的主要檢驗方法是計量經濟學），從而保證了其理論假說科學性的主要特征。值得指出的是，按照證偽主義思想，就一般經驗科學而言，演繹法意義上的檢驗是檢驗理論的結論，而不是檢驗其假設條件。但就經濟學來說，是檢驗假設條件還是理論結論或是都檢驗是有爭論的，其原因可能是由于社會科學的特殊性所決定的。
從上面的討論我們可以看出，演繹法或數學在西方經濟學中的應用具有科學方法論上的意義，是將經濟學作為一門科學研究信念的必然結果，它的研究思路、體系和研究方法應該說是按科學研究的要求來設計的，并達到了相當高的技巧水平。當然，社會科學與自然科學是有（根本？）差別的，自然科學方法與社會科學方法也應有差別；我認為這個差別集中反映在經濟學的基本假設上，或者說可以從西方經濟學中的基本假設及其思想上去認識。另外，確立假設條件本身是一個十分復雜的創造過程，按照“證偽主義”的思想，理論核心假設的提出是一種大膽的猜想、“自由創造”或某種非理性因素作用的結果，而沒有什么邏輯的方法可循。但在西方經濟學中，科學的信念和數學應用的條件，實際上對其基本假設的形成起了非常重要的影響；另一方面，其基本假設的思想是盡量去掉不確定性因素，而經濟學中的任何事實又滲透了人們心理變化的不確定性；在處理更加復雜經濟社會現象的面前，數學的威力仍在嗎？因此，在我們分析了經濟學中數學應用的科學意義后，還應更深入地思考另一方面的問題，經濟學中數學應用的限制又在哪里呢？
三、經濟學中數學應用限制的初步認識
數學在經濟學中應用的有效性一直是一個有爭議的方法論問題。我認為其關鍵點在于，如何認識自然現象和社會現象的差異，以及怎樣認識數學有效性的深度和廣度；實際上這兩個問題在某種程度上是一個問題。雖然對這一問題的認識很難說理論上會有什么最終定論，但某種深層次的思考和了解，將有助于我們對經濟學方法論目前仍存在的某些基本問題有所理解。
1、自然現象與社會現象
一般性討論已告訴人們，自然現象與社會現象之間的確有某些根本性的差別。與自然現象根本不同在于，社會現象中人及其關系在經濟事件實際過程中產生極其重要的影響（某種意義上說，這種影響在自然科學中也存在，但影響的性質是完全不同的）；如果不作某種嚴格的假設，這種差別將限制數學在經濟學中的應用，經濟分析將最終歸結為社會的、意識形態的、心理學的等方面的分析。因此，如何認識這種差別及其性質，是認識經濟學中數學應用限制大小或性質的關鍵。下面稍展開分析：
分析之一：兩種現象演化過程的客觀性不同。在觀察自然現象演化過程中，人和自然現象演化過程（主體和客體）是明顯分離的，除了人的觀察和認識可能有（某種相對固定）偏差外，自然現象演化過程本身相對來說是一個客觀過程；簡單地說，其過程是一個客觀事實直接連接著下一個客觀事實，與人的觀察和認識無關。而在社會現象演化過程中，由于其過程本身參入了有思考能力的人，人與社會現象演化過程不能明確分離開來，亦即人不能獨立或脫離自身來觀察自己；簡單地說，如若以事實為起點，事實經過人的思考產生認識或決策，進而影響到人的行動，而人的行動結果形成下一個事實；這里一個事實并不直接連接另一個事實，事實本身不是客觀的，而是參入了人的觀察或認識，亦即事實與人的思考是相互影響的（這種現象有人稱為“反射”現象），這時主客體是合二為一難以明確分離的；因此，我們觀察到的社會現象演化過程很難說是一個客觀過程，其不確定性因素是顯然存在的。
分析之二：兩種現象演化過程的科學特征不同。自然現象演化過程客觀性的一個基本特征是：相對來說，在人所能控制的范圍內（或在相同的條件下），其現象演化過程是可重復的或可控制的，這實際上是產生科學研究和確定性知識的基本特征。而社會現象的演化過程則完全是一個不可重復的歷史過程，亦即人們在其研究中，無論利用多少人為的條件（總是有限的）來刻畫條件相同但時間不同或地理不同的兩個實際社會（或經濟）狀態，都是不準確和客觀的，有時甚至是差別巨大；歷史事件是不可重復的！這突出地表明，歷史的、文化的、制度的和心理的等因素復雜作用、進化的不可逆性和不確定性，也表明社會現象的復雜性遠甚于自然現象。
分析之三：人的認識偏頗性對研究對象的影響不同。眾所周知，人對世界的認識是有限的，亦即總是存在偏頗或不完全性，但這種偏頗對我們所考察的兩種現象過程的影響是非常不一樣的。對于自然科學來說，由于其現象過程的相對客觀性，人的認識或偏頗相對來說不可能影響現象過程（事實）本身，亦即這里人的認識或偏頗和其現象過程實際上分別屬于兩個相互隔離的空間，客觀過程能不斷糾正認識上的偏頗；也正因為如此，自然現象或事實在自然科學研究中，既是扮演著可觀察的獨立現象，又實際上扮演著獨立而客觀標準；亦即相對來說，人的認識或理論的正確與否可以通過與現象或事實的對應得到客觀地檢驗或確定；因此，這種研究結論才可稱之為確定性的和科學的知識。而對于社會科學來說，由于其現象過程的非客觀性，即人的認識或偏頗滲透了現象過程本身（事實）之中，事實和人的思考兩者是互相影響而不斷變化的；因而造成了研究對象和研究本身的不確定性或非客觀性，例如，我們可以發現，經濟學中缺乏象自然科學中那樣無可爭議的假設或概念；這種狀況下的研究方法和結果很可能是，要么是確定性的而脫離實際，要么是不確定性的而失去科學研究的意義。
我認為，以上的初步分析反映了自然科學和社會科學研究對象之間差別性質，也是數學在經濟學中應用限制的深層次原因。
2、常規事件與歷史事件
我們自然想到，數學在經濟學中的有效性可能受到限制，怎樣來認識這種限制的大小呢？又怎樣來認識經濟學的實際作用呢？我認為認識和區分社會經濟現象中所謂“常規事件”和“歷史事件”的含義是十分重要的。
�。�1）常規事件和歷史事件。社會經濟現象（事實）中參入了人的思考（為）因素，事實和人的思考（行為）相互影響，不可分離，這里的事實相對而言失去了其客觀性；因而我們說經濟（社會）事件相對來說更具有不確定性；當然這并不能認為，經濟（社會）現象完全無穩定性、無研究意義，而是要著重指出它與自然現象的重要差別；這里歷史學研究及其內容給我們一個重要啟示。一般歷史學研究所包含的內容，主要是描述和分析歷史上的重大事件，即所謂“歷史事件”，從時間上衡量，“歷史事件”發生的時間長度在整個歷史過程中只占很小一部分；而其余大部分時間中所發生的相對穩定、普通的事件，我們則可稱之為所謂“常規事件”，但它并不是歷史研究所描述的主要對象。如果從經濟學的角度對照來看，可以簡單地說，所謂經濟中的“歷史事件”部分主要對應于較大經濟波動時的波峰或波谷時期的經濟狀態，或者說是指那些遠離“均衡”時的經濟狀態；而經濟波動其余部分相對較穩定時期，或者說那些較接近“均衡”時的經濟狀態則對應于所謂“常規事件”部分。某種意義上說，“歷史事件”和“常規事件”的區別本質上是不確定性和確定性、非理性和理性的區別。
（2）經濟學與“歷史事件”。值得指出的是，“歷史事件”在人類歷史上的作用和意義是顯而易見的，它往往是歷史進程重要的轉折點，也是難以事先認識和預測的。同樣，經濟（社會）現象中的不確定性也主要突出地反映在其所謂“歷史事件”中，簡單地說，即指較大經濟波動中的波峰和波谷部分（較大經濟波動轉折點的某一鄰域），目前的經濟學或經濟數學模型對此的解釋或預測是十分無力的。經濟中“歷史事件”的形成，實際上是人們思考或認識的偏頗逐漸加強（或非理性作用突出），并不可遏制地、不斷放大的結果，亦即實際事實與參入者的偏頗不斷相互影響、一致偏頗（或非理性）行為的程度積聚放大最終導致崩潰（突變）的過程，這一過程的不確定性（或非理性）特別顯示在波峰和波谷的形成上。這一過程的典型例子在金融證券市場上是十分常見的，也許目前科學方法對此的解釋是無能為力的。我們同樣可以看出，對這一過程的形成，均衡的力量或均衡思想的解釋力是微不足道的，更不用說去預測它了。
（3）經濟學與“常規事件”。當然，社會經濟中的不確定性不可能總是激烈地表現出來；一般來說，在“常規事件”時期，人們的偏頗及行為相對處于穩定（或較理性的）狀態，與實際狀況比較接近；這時，人們的總體偏頗狀態不會形成某種變化的趨勢，人們的思考及行為與實際狀態的相互影響處于穩定，不確定性或非理性的程度相對較小或相互抵消。這時“均衡”經濟學的確具有相當的解釋力和預測力，或者說在“常規事件”條件下或某種嚴格的假設條件下，數學在經濟學中的意義是顯著的。但我們應注意的是，由于“常規事件”本身的穩定特征或屬于經濟現象中常規部分，使得這種解釋力的實際意義和重要性驟然變小。這里出現的一個問題是：經濟學的研究對象應主要是“常規事件”還是“歷史事件”呢？西方經濟學顯然是選擇了具有較好確定性特征的“常規事件”作為其研究對象和經濟本質特征的，而把“歷史事件”作為例外加以處理。
3、檢驗經濟學的困難
眾所周知，自然科學真理性的一個突出特征，是其理論能相對其對應的客觀事實得到檢驗，這種檢驗不會因人的認識或理論的不同而改變，也不會因研究者的不同研究動機而改變；其基本原因是這里的“事實”是唯一的或客觀的，通過這種檢驗而得到的理論（或知識）是科學性的保證。然而，對經濟學的檢驗卻有明顯的不同。
首先，經濟學及其實際預測無論正確與否，它們都會對人們的思考和行為產生某種影響，特別是有重大實際經濟意義的預測，可能會對預測的事實本身產生有利或不利的影響，亦即經濟學預測的事實本身并不是唯一的或客觀的，是可以變化的，這樣的預測成功或失敗似乎并不能客觀地說明其理論的正確或錯誤。在經濟學的檢驗中，在用什么“事實”作為檢驗的共同標準問題上，實際上缺乏一致和明確的認識。
其次，自然科學中，數學方法預測成功的一個重要特征是所謂“有條件預測”，亦即相對而言，其預測的假設（或前提）與其預測的結論之間是邏輯或直接（客觀）的關系；或者說，在相同條件下預測過程是可重復的或多次有效的。我們已知道經濟學預測不存在這種“有條件預測”的特征；在實際預測過程中，預測的條件（假設）與其預測結論之間存在著不確定性因素的干擾，尤其在經濟波動的轉折點時更是這樣。經濟學中的大量不同理論學派或預測模型之所以可以長時間地同時并存，是因為與自然科學不同，某個模型的某次成功預測并不能表明其理論的正確或有效；同樣，某個模型的某次失敗預測也不能表明其理論的錯誤或無效；因此，經濟學的檢驗意義是有限的。
最后，在任何科學研究中，研究者的研究動機主要有兩種類型，可分為追求真理和追求功利的動機。在自然科學中，無論研究者的動機如何，檢驗研究者成果的標準是唯一的客觀事實，來不得半點虛偽的東西。而在經濟學研究中，由于檢驗的標準可能是不確定的，不正確的動機、錯誤的理論或預測也可能取得“成功”，因為它能影響人們的思想和行為進而影響到經濟現象本身或所檢驗結論的形成；如果加上政治和個人利益等傾向的影響，某些研究結論的偏頗性將十分突出，再利用經濟學“科學性”分析聲譽的影響，短期內使實際狀況達到某種檢驗目的的要求是完全可能的和有效的；這種檢驗破壞了科學檢驗的客觀性。
總之，經濟學的檢驗與自然科學意義上的檢驗具有較大的差別，不能簡單地混為一談；這一問題的存在也是數學在經濟學中應用的一個主要限制。
四、小結
以上從不同的方面，初步探討了經濟學中數學應用的意義及其限制，應該說還是十分粗淺的�？偟膩碚f，我認為經濟學中數學的意義，主要表現在純理論的信念統一和理論體系完美的結構上。因此，西方經濟學對于我們進入經濟學領域能夠起到基礎知識和技術的作用，學習經濟學不可不了解和學習西方經濟學；另一方面，對經濟學中數學的意義也不應過分夸大，特別是在實際應用時，要深刻認識經濟學的局限性。舉一個例子，在實踐意義上，經濟學中數學的作用很類似計算機在人工智能應用方面的作用。在某些方面，例如計算機在解決那些被嚴格限定的問題（如邏輯問題、國際象棋等）方面，的確具有超人的能力；但如果它面對大量人們不費吹灰之力就能解決的那類問題（諸如辨認一張面孔、一種聲音，或在擁擠的人行道上行走等）時，可能會一籌莫展。因此，許多時候，經濟學上的優美數學結構和確定性結論，一用到具體實際中往往會感到無用武之力或失效；特別是，數學在認識類似“歷史事件”的經濟問題時，其實際作用可能是十分有限的。
一個有趣的現象是，當一個理論體系處在其發展初期時，往往人們給予的是更多信心和關注，這時人們討論的焦點大都集中在理論本身所關心問題的范圍內，結果是大大促進了其理論體系的發展和完善。而當一個理論體系看起來已達到較成熟和完善期時，卻往往會開始引起人們的百般挑剔甚至指責，即使是自然科學理論也是如此；這時人們往往開始關注其理論體系的方法論問題，并期望從根本上否定它，從而為更新理論體系的誕生和發展開辟新的途徑；這樣的過程在自然科學史上是屢見不鮮的。特別值得指出的是，當今自然科學空前高度的發達，卻不能避免西方科學哲學界（特別是六十年代“歷史主義”出現以來）關于“什么是科學”的爭論，在什么是科學的劃界標準、科學的研究方法等基本問題上已出現了嚴重的對峙局面。七、八十年代以來，西方經濟學界就其方法論方面問題也已展開了激烈的爭論，新古典經濟學受到了巨大的沖擊。同時新的經濟思想、觀念和方法論不斷出現，應引起我們的廣泛注意。
在中華民族偉大的復興過程中，一方面，要求我們不斷學習和吸收發達國家先進的科學技術和理論，為我所用；另一方面，我們也要提高和加強自身的獨立思考和分析的能力，特別是有關理論研究戰略方面的問題，不能一味地灌輸和照搬。當然，要完成這兩方面的任務是十分艱難和繁重的，就經濟學方面來講，也許加強有關方法論知識方面的學習和研究是一條效率較高的途徑。
相關資料：
1、經濟學系共開設五門研究生課程，其中包括一門Diploma課程，三門Masterof Philosophy(MPhil)課程，分別為經濟學碩士，經濟金融學碩士和經濟研究碩士，以及一門經濟學博士課程。
Diploma課程總長度九個月，從九月最后一周至第二年六月結束。課程主要針對本科沒有學習過，或幾乎沒有接觸過經濟學的同學學習。
該學歷等同于本科第二學位，主要有如下兩個作用。
第一，該學位課程涵蓋了需要繼續碩士或者博士學習的先修課程，在課程結束后，學生可以繼續申請劍橋大學經濟學系，或其他大學的經濟學碩士項目。
第二，該學位可以作為一個本科學士第二學位，涵蓋了較為嚴謹的經濟學入門知識。本項目要求學生有較好的數學功底，學習結束在課程考試中達到平均分65分的同學可以申請繼續經濟學碩士項目的學習。
2、碩士項目內容及申請要求
大多數國內申請的學生主要集中在碩士的三個項目中，因此我們以經濟學碩士項目為例，簡單介紹碩士項目學習和申請要求，具體項目有所不同，請仔細閱讀學校主頁。
經濟學碩士要求學生在十個月的時間內，完成八門課程和一篇畢業論文，每門課程包括18小時的課堂教學。具體要求包括，學期初參加數學和統計學先修課程，完成微觀經濟學、宏觀經濟學和計量經濟學三個核心領域基礎必修課程各一門，完成三個核心領域選修課共三門，以及任選課兩門。核心課程還有相應的作業和習題課。畢業論文不得超過一萬字，占總分的20%。其余80%取自期末考試成績。
申請項目的學生需要擁有英國2i榮譽學位或同等學力，根據目前要求，相當于中國大學平均分85-95分。本科學位需要包括經濟學基礎課，如中級微觀經濟學，中級宏觀經濟學和計量經濟學。僅擁有管理學、精算和商科學位而沒有相關課程不能算作合格的申請。如果學生來自北美教育系統，要求至少達到3.6平均績點(4.0滿分)，其余地區至少應該達到參考組的前10%。語言要求為IELTS學術類考試平均分7.5，四項科目不低于7.0。
申請者需要通過劍橋大學網站申請，申請費50英鎊，其他需要的材料包括：兩封學術推薦信、本科成績單、英語考試成績單、GRE考試成績單(非英國本科學生)，本科課程清單(包括微觀經濟學、宏觀經濟學、計量經濟學以及經濟數學的課程大綱、指定教材等信息)，個人陳述。
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