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數控機床誤差分析技術問題的研究(一)
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緒 論
1.1課題的提出與意義
數控機床是制造業實現自動化、柔性化、集成化生產的基礎，其水平的高低和擁有量多少是衡量一個國家工業現代化的重要標志。工業發達國家把數控機床視為具有高技術附加值和高利潤的重要出口產品。數控機床已成為關系到國家戰略地位和體現國家綜合國力的重要基礎性產品[1]。高速、高精度是數控機床發展的一個主要方面，據統計從上世紀中葉至今的50年里，機床的加工精度每隔8年就提高一倍[2]。隨著數控加工技術的廣泛應用，對數控加工精度的要求日益提高。對工廠而言，提高產品質量在一定程度上意味著需要淘汰一批精度低的現有機床，但這對我國大多數數控機床用戶來說是一筆不小的投入。若維持現有設備成本，很可能無法滿足用戶對數控機床精度的要求，若從根本上提高數控機床的制造精度，無疑將導致生產成本的大幅度上升，影響用戶購買的積極性。針對我國數控機床生產和應用的具體情況，如何經濟有效的提高數控機床的精度是一個極有研究價值的課題。
在研究影響加工精度的因素時，應當對機械加工的全過程進行分析。分析表明，影響加工精度的誤差主要有幾何誤差和動誤差兩個方面。幾何誤差包括加工原理誤差、工件的裝夾誤差、調整誤差、刀具誤差、機床主軸回轉誤差、機床導軌導向誤差和機床傳動誤差。動誤差包括測量誤差、刀具磨損、工藝系統受力變形，工藝系統受熱變形、工件殘余應力引起的變形。其中，幾何誤差和由溫度引起的誤差占機床總誤差的70%[3]。
在機械制造業中，被加工零件的尺寸精度、形狀精度和相對位置精度是機械加工精度的重要指標。為了提高機床加工精度，各國學者作了大量的深入，提出了很多行之有效的方法�？v觀這些方法，可以將他們分為兩大類：誤差防止法和誤差補償法[3，4]。
誤差防止法是通過提高機床零部件的加工與裝配精度，加大機床系統的剛度以及嚴格控制機械加工環境等方法來提高機械加工精度，即在制造和設計過程中來消除可能的誤差源。該方法有一個致命的弱點，即機床的性能與造價成幾何級數關系增長。同時，由于數控機床的機構復雜，零部件非常之多，機床的工況復雜等問題，使得單純采用誤差防止法來提高機床的加工精度是十分困難的。
誤差補償法是通過分析影響加工精度的不同誤差來源，建立空間誤差數學模型，利用前饋預報技術對機械系統誤差進行修正，從而提高機械加工精度。該方法可用普通的機床加工出高精度的產品，實現“不使用精密加工設備的精密加工”[5]。因此，非常適合于我國制造工業發展現狀：即工業底子薄，中、低檔數控設備比率較大，且在短期內難以對現有設備進行大量的更新和改造[6]。我國工業基礎差，與發達國家有很大差距，再加上資金少，使用的數控設備檔次較底，基本上都是中底檔數控設備，且難以對現有的設備進行大量的更新和改造。而誤差補償技術的最大的特點就是在無需大量投入資金的情況下提高加工精度，創造更大的效益。誤差補償技術對我國機械制造業的發展意義更為重要。攻克誤差補償技術難關，進而進行廣泛推廣，這肯定會使我國機械行業整體質量有很大的提高，創造巨大的經濟效益。因此，對誤差補償技術的深入研究與應用，不僅有利于我們跟蹤世界前沿課題，達到技術領先優勢，而且更重要的是，該項工作是我國機械行業目前亟待解決的關鍵課題之一[4]。
綜上所述，對數控機床誤差分析技術問題的研究，不僅有利于我們跟上世界前沿的課題，而且更重的是，針對我國制造業的發展現狀，對機床加工工件精度的提高提供了重要的技術方法，對我國制造業加工現狀有很明顯的經濟效益，對我國的經濟快速發展提供了新的動力。
1.2 課題研究的背景綜述
機床精度的高低是用誤差來衡量的。一般的說，數控機床機械部件主要由床身、立柱、轉軸、拖板、工作臺及傳動部件組成。每個部件都可能導致誤差的產生。影響數控機床的誤差源大體可劃分為[7,8]：
1） 機床部件及構造導致的幾何誤差；
2） 運動誤差；
3） 熱變形產生的誤差；
4） 力產生的誤差，包括：載荷變形誤差、軸加速時偏心力產生的誤差及切削力產生的誤差。
5） 材料不穩定導致的誤差；
6） 檢測系統的測試誤差；
7） 機床裝配導致的誤差；
8） 磨損產生的誤差，這包括刀具系統的磨損；
9） 定位產生的誤差；
10) 外界干擾誤差，主要指環境條件的擾動和運行工況的波動所引起的誤差。
最傳統的誤差補償方法應算是借助凸輪、靠模、校正尺等機械式補償機構，實現對精密機床系統誤差進行修正的方法，雖然機械機構式的誤差補償方法取得了一定的成果，但該方法存在著設計周期長、結構復雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批等生產的要求[9]。
隨著計算機技術及檢測技術的不斷發展，以及人們對機床運動規律的認識不斷深入，以機床運動模型及功能芯片為主體的誤差補償方法，逐步替代了傳統的機械機構誤差補償方法，在當今數控誤差補償研究中一直占主導地位，并取得了明顯的效果[4]。
現在，以數控機床誤差模型為基礎的誤差補償實施方法主要可分為兩類[10]：其一是軟件補償法，其二是硬件補償法。目前使用的誤差補償方法主要是硬件誤差補償方法，該方法是通過開發以微處理器芯片為核心的誤差補償控制器及專用接口電路，向數控機床傳送空間點位誤差補償信息而達到誤差補償的目的。數控機床的基本功能模塊有數控系統、伺服單元、反饋環節。相應的誤差補償器也分為三類：NC型、前饋補償型和反饋修正型。反饋修正控制器由美國技術和標準局的Rogel和D.Kilmer負責研究，并取得成功。該方法通過修正反饋的脈沖數，實現了對三坐標加工中心的空間誤差進行修正。該方法雖不受數控系統類型的限制，但仍存在兩大弱點：其一是對每個軸的位置反饋環節必須加一套修整方案，成本高，不利于調試和維護；之二是反饋環節增加誤差修正環節改變了數控機床本身的機電動態特性�？傮w來說，誤差補償控制器對數控系統有很大的依賴型，由于數控系統、伺服系統的多樣性和封閉性，嚴重阻礙了該項技術的普及推廣。
與硬件補償法相對應的是軟件補償方法，軟件誤差補償是通過修改數控加工代碼或者執行補償指令來實現加工誤差的補償。這樣，采用軟件補償方法就可以在不對機床的機械部分做任何改變的情況下，使其總體精度和加工精度顯著提高。
1.2.1 幾何誤差建模技術研究現狀
數控機床空間誤差（幾何誤差、熱變形誤差和承載變形誤差）建模，是軟件誤差補償的關鍵技術之一[11，12]。關于幾何誤差建模的方法，一直是國內外學者的研究的重點，先后經歷了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關系模型法、機構學建模法、剛體運動學法，多體系統理論建模法幾個階段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表達法建立了三軸坐標鏜床的空間誤差模型；
1977年，Hocken用矩陣變換對坐標測量機(CMM)進行幾何誤差建模；
1986年，Donmez等人推導了機床的廣義誤差合成模型，該模型既考慮了幾何誤差，又考慮了熱誤差；
1992年，Chen得人在研究中去除了剛體運動假設，可以對非剛體誤差進行補償，而且通過標準其次坐標變換方法建立了幾何誤差和熱誤差兩者的模型；
1993年，Kiridena等人用機構學推導了五坐標機床的空間幾何誤差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐標矩陣建立起多軸數控機床的準靜態誤差綜合空間誤差模型，該模型還包含了幾何誤差、回轉軸誤差、熱誤差和機床部件彈性變形誤差。
在國內，1994年天津大學章青博士利用多體系統運動學推到了任意結構機床誤差建模方法；2003年北京那個工業大學的范晉偉教授使用多體系統理論推到三坐標數控機床通用幾何誤差補償算法，該算法在北人印刷集團實地試驗取得明顯的誤差補償效果[14]。
由于機床機構復雜，工況多變，加上環境因素的影響，熱變形誤差早已引起人們的注意，也是補償技術的難點之一[10]。幾何誤差和熱誤差是數控加工時的主要誤差源，占數控加工總誤差的70%左右。相對來說，幾何誤差比較穩定也比較容易測量從而便于進行補償，而熱誤差的補償卻不那么容易，因為熱誤差的產生是一個動態過程，具有非線性、時滯等特點，用傳統的方法很難對其進行補償。
載荷誤差主要體現在大型或重型機床上，如鏜銑床的滑枕懸臂的下垂變形，龍門銑床主軸箱移動引起橫梁變形等。綜觀現有文獻，對誤差載荷的處理方法主要有兩種：一是在線測量法[15]，該方法是在機床的特定位置上安裝一些標準快，通過大量的實驗擬合出載荷誤差與標準快的變形之間的關系，機床工作時通過測試在線檢測標準快的變形，利用擬合的數學關系間接的得到載荷變形誤差值。另一種是理論計算法，因為數控機床的載荷變形主要表現為結構變形和結合面變形。結構變形通常用有限元和邊界元等方法計算，結合面載荷變形通常用接觸變形理論來處理，利用大量的實驗擬合影響結合面載荷變形的特性系數[16，17]。
本研究課題不考慮熱變形誤差及承載變形誤差，在只考慮幾何變形誤差條件下，對數控機床進行建模。
1.2.2 軟件誤差補償技術研究現狀
國外軟件補償大體經歷了一下的發展階段[18]：
1967 年，French 和 Humphries 提出在數控程序的編程階段解決數控機床的誤差補償問題；
1970 年，產生了以通用微機平臺和誤差修正算法軟件為主體的軟件誤差補償思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微機平臺及數控指令修正算法為主體的軟件誤差補償思想，其著重應用于坐標測量機檢測數據的誤差修正，而在數控機床加工領域的應用還不多見；
1985 年，G. Zhang 成功的對三坐標測量機進行了誤差補償。測量了工作臺平面度誤差，除在工作臺邊緣數值稍大，其它不超過1μm，驗證了剛體假設的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其長期從事的誤差補償研究與實踐經驗總結基礎之上，再次強調了軟件誤差補償的重要性，并進一步指出通過軟件誤差補償有可能獲得很高的補償精度；
1998-1999 年有關重復加工中，檢測己加工工件的誤差，進而通過修正刀具路線的方法，提高待加工工件加工精度為內容的軟件誤差補償技術文獻日益增多，反映出軟件誤差補償技術具有很強的發展趨勢；
在2000 年美國Michigan 大學Jun Ni 教授指導的博士生Chen Guiquan做了有意的嘗試，運用球桿儀(TBB)對三軸數控機床不同溫度下的幾何誤差進行了測量，建立了快速的溫度預報和誤差補償模型，進行了誤差補償。
在我國應用極其廣泛的是中低檔數控機床，幾何誤差約占機床總體誤差的70%左右，國內學者對機床幾何誤差也進行了深入研究：
1986 北京機床研究所開展了機床熱誤差和坐標測量機的補償研究；
1997 年天津大學的李書和等進行了機床誤差補償的建模和熱誤差補償研究；
1998 年天津大學的劉又午等采用多體系統建立了機床的誤差模型，給出了幾何誤差的22 線、14 線、9 線激光干涉儀測量方法，1999 年他們還對數控機床的誤差補償進行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大學的楊建國進行了車床熱誤差補償的研究；
1996到2000年在國家自然科學基金和國家863計劃項目的支持下，華中科技大學開展了對數控機床幾何誤差補償以及基于切削力在線辯識的智能自適應控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工業大學范晉偉教授使用多體系統理論運動學推導出三坐標數控機床通用幾何誤差補償軟件，該軟件在北人印刷集團實地實驗取得明顯的誤差補償效果。
圖1.1 軟件誤差補償技術流程圖
這樣可以修正由于機床幾何運動所引起的誤差，可以提高加工精度，當然機床的加工精度還受到其他因素的影響，如刀具磨損、載荷、溫度、濕度等，但由于這些因素產生的誤差相對于機床的幾何運動誤差還是較小的，本文提出的誤差補償方法的是機床幾何運動誤差，對于其他因素的影響沒有考慮在內。
自誤差補償技術問世以來，經歷了傳統誤差補償、硬件誤差補償和目前日趨成熟的軟件誤差補償。傳統的誤差補償方法存在著設計周期長、結構復雜、笨拙、成本高、柔性差等問題，難以滿足單件、小批、靈活、多變的現代生產及市場競爭要求；而硬件補償法對數控系統又有很大的依賴性，由于數控系統的多樣性和封閉性，并且開發的控制器和接口電路會影響機床的機電匹配特性等問題，嚴重阻礙了該項技術的應用與推廣；在這種背景下，人們逐漸開始重視軟件誤差補償法，該方法實現了“不使用精密加工設備的精密加工”，具有極高的性能價格比，已逐步發展成為當今提高機床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究內容
本課題以如何提高數控機床加工精度為目的而展開的，主要針對三坐標數控機床的誤差補償問題，研究一下幾個內容：
1. 分析多體系統的建立方法，對多體系統進行簡單的描述，并對多體系統的低序體陣列進行補充，建立多體系統的運動模型和誤差模型。
2. 數控機床是多體系統的一個特例，將多體系統運動學理論具體的應用到數控機床的誤差建模中去，對機床的結構進行分析并且用機床結構二叉樹來描述，建立不考慮幾何運動誤差的數控機床多體系統通用模型，給出工件坐標系和刀具坐標系上的給定點在慣性坐標系中實際位置的數學模型。
3．保證數控機床刀具中心的實際軌跡與待加工工件上的理論刀具中心軌跡完全一致，建立考慮幾何誤差影響的數控機床機構運動學模型，并且給出工件坐標系和刀具坐標系上的給定點在慣性坐標系中實際位置的數學模型，同時建立了有誤差情況系的通用數控機床精密求解方程。
4．描述三坐標數控機床的幾何誤差，建立了ZK7640三坐標數控銑床的運動模型，同時給出了該銑床的精密加工條件方程。
5．數控機床誤差分析軟件的程序總體設計
采用MATLAB軟件進行編程，根據ZK7640數控銑床的精密加工條件方程，分析理想條件下已知刀具路線坐標值求解數控指令坐標值，已知數控指令坐標值求解刀具實際軌跡，用迭代法求出精密加工數控指令坐標值，最后具體分析數控指令坐標值修正前后的加工誤差變化，同時繪制出相應的仿真圖。
多體系統運動模型和誤差模型的建立
2.1多體系統理論概述
多體系統理論是研究多體系統問題的一門科學，具有很好的通用性、系統性，尤其是電子計算機高速發展的今天，多體系統理論利用計算機程序和算法進行復雜系統動力學和運動學的計算，滿足了經典動力學和運動學理論不能解決的復雜問題分析計算的需要。多體系統是對工程實際中大量涌現的多個剛體或柔體通過某種形式聯結的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機械系統的最優模型形式。任何機械系統都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統。多體系統理論已在機器人、多軸機床等機構的運動分析與控制中得到應用。但是迄今眾多體系統理論流派均側重于多體系統動力學的研究，而對多體系統運動學理論的運用研究多集中在理想剛體的運動情況，未建立起實際條件下的多體系統運動學理論，這也在一定程度上阻礙了多體系統運動學理論的實際應用。
2.2 多體系統拓撲結構的描述
多個物體通過沒有特定的形式連接起來就構成多體系統。對多體系統的拓撲結構加以描述并建立多體系統的低序體陣列，是多體系統理論的基本問題。機械系統結構形式多種多樣，如床身有立式、臥式、龍門式等，通過拓撲的方法描述，可以將復雜的結構抽象成簡單的體的形式。圖2-1就是一個典型的多體系統，通過低序體陣列，可以將任何一個物體追溯到大地坐標系中去。設慣性坐標系為體，任選一體為體，然后沿遠離體的方向，以增長數列標定每個物體的序號，從系統的一個分支到另一個分支，直到全部物體標定完為止，圖2-2是對圖2-1系統的編號的結果，令標定腳碼與各數字對應。
圖2-1 多體系統
圖2-2 對圖2-1多體系統的編號
可見除以外，每個物體都有一個相鄰的較低序號物體。當推導運動學和編制計算方法時，需要為系統中每個物體的較低序號物體制定一個表格，用表示，稱為“較低序號物體陣列”，表示物體的序號。令為待研究系統所在的參考系，把看作的較低序號物體，則的序號應為0。
對圖2-2的系統，當時，為
（2-1）
多體系統低序體陣列描述了開環多體系統的拓撲結構的特點。根據多體系統示意圖就能寫出反之，已知就能畫出多體系統示意圖。
圖2-2所示的多體系統的低序體陣列描述，見表2-1。
表2-1中為多體系統中典型體的序號，為典型體的n階低序體的序號，可表示為
（2-2）
式中 ——為低序體算子；n, k ——為正整數。
由式（2-2），典型體的相鄰低序體可表示為
（2-3）
且補充定義
（2-4）
（2-5）
表2-1 多體系統的低序體陣列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作為低序體陣列的補充，其他三種陣列在推導運動學算法時也很有用。即“末端體陣列”、“分支體陣列”和“中間體陣列”。顧名思義，“末端”體即位于系統邊界點上的物體，“分支”體是含有多于一個分支的物體，即非末端體，又非分支體，稱為“中間”體。
在圖2-2中的多體系統，末端體為、、 ，沒有相鄰更高體序號物體的那些物體即可判斷為末端體，所以，末端體是表2-1中那一行沒有列出的物體。在圖2-2中，分支體為和，凡是有一個以上相鄰更高序號物體的那些物體即可判別為分支體，所以，分支體是表2-1中那一行有重復序號的那些體。在圖2-2中，中間體為、和，與末端體和分支體一樣，也可由對行的檢查而確定中間體，即中間體是在表2-1中那一行出現一次，且僅出現一次的物體。
2.3 多體系統中典型體的物理描述
圖2-3 理想情況多體系統中的典型體及其相鄰低序體
多體系統中的典型體及相鄰體（）如圖2-3所示。體的運動參考點為，它固定在上，其相對于原點用固連在體上的位置矢量描述。用相對于的位移矢量描述體相對于體的相對移動。在和體上分別固連了動坐標系：，，和：，，，分別稱為體參考坐標系和體參考坐標系，則稱右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的變化就表示了體相對于體的轉動。令變換矩陣的各元素分別為
（m，n=1，2，3） （2-6）
則右旋正交基矢組、、相對于右旋正交基矢組、、的關系表達為：
（2-7）
變化矩陣描述了相鄰體參考坐標系間的相互變換關系，稱之為相鄰體變換矩陣。
2.4 多體系統運動模型的建立
運動學方程可分為：零級運動方程（描述位置和姿勢），一級運動方程（描述速度和角速度），二級運動方程（描述加速度和角加速度），和高級運動方程（描述躍變和角躍變，即加速度的導數和角加速度的導數）。由于零級運動方程在制造系統運動誤差分析中占有突出的地位，所以下面研究零級運動學方程。
根據圖2-3，可得在慣性系中的矢量表達
（2-8）
式中： ——依照低序體陣列求和，且；
——含分支內任意體的位置矢量和位移矢量；
如令為體相對于R的變換矩陣，由于變換矩陣遵循傳遞法則，故有
（2-9）
式中：表示按低序體陣列連乘，且
典型體位置方程的矩陣表達式為：
（2-10）
式中： 為體參考點在參考系R中的位置矢量的分量陣列表達式；
，為和在中的分量陣列；
體上任意點P在R中的表達式為：
（2-11）
2.5 多體系統誤差模型的建立
在有誤差的情況下，多體系統理論理想表達式就不能準確的描述多體系統的運動狀態。為了達到精度控制的目的，必須建立與誤差條件相適應的新的多體系統的位置表達式。考慮誤差后，相鄰體相對運動示意圖如圖2-4所示。當位移為零，誤差為零時，與重合。表示原點和原點間初始位置矢量，表示位置誤差矢量。表示相對于的位移矢量，表示位移誤差矢量。當數控機床部件發生位移時，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之間點增設一個坐標系，并將改寫成，且定義為位置坐標系，為位移坐標系。
圖2-4 有誤差時多體系統中典型體及其相鄰低序體
依圖，根據矢量關系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考慮方位誤差,可得
（2-14）
式中 ——與相對位移間的方位變換矩陣；
——與相對位置間的方位變換矩陣，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相對于的相對位置變換矩陣卡爾丹角。
令,,表示位置方位誤差。由于數控機床是較精密的設備，,,都是一個較小的值，可近似的取,,其余類推。故位置方位誤差矩陣可簡化為
（2-16）
又知，體相對于體的運動形式有平動和轉動。當為平動時，位移變換矩陣為單位陣
體相對于體的轉動主要有三種情況，繞的x軸轉動α、繞體的y軸轉動β以及繞體的z軸轉動γ。與其相對應的變換矩陣分別是
如令表示位移方位誤差，當方位誤差很小時，可取其余類推。則位移的方位誤差矩陣可表示為
（2-17）
當存在方位誤差時，根據傳遞關系，則有
（2-18）
考察典型體上任意點（如圖2-4所示），其在參考系中的位置方程為
（2-19）
2.6 本章小結
多體系統是對工程實際中大量涌現的多個剛體或柔體通過某種形式聯結的工程對象的概括和抽象，是分析和研究機械系統的最優模型形式。任何機械系統都可以通過概括、抽象，提煉成多體系統。本章對多體系統進行了概括，描述了多體系統的拓撲結構，對多體系統中的典型體進行了物理描述，建立了多體系統的運動模型和誤差模型，為三坐標數控機床的運動和誤差模型的建立做了理論準備。
三坐標數控機床運動模型與誤差模型建模
3.1 數控機床結構描述
數控機床由床身、工作臺、溜板箱、主軸箱和刀具等組成，為了建立通用的數控機床運動模型，對各種數控機床的結構進行總體概括、分析與抽象是必不可少的工作。經過對常用的數控機床分析，可將機床機構歸結為兩條運動鏈：一條為“工件——機架”運動鏈，另一條為“刀具——機架”運動鏈。從工件（工作臺）到機架之間的運動鏈為“工件——機架”運動鏈，由m個運動副串聯而成；從刀具（主軸）到機架之間的運動鏈為“刀具——機架”運動鏈，由n個運動副串聯而成。在進一步分析可知，數控機床各運動部件之間只有單自由度的相對運動并且有三種約束類型，分別為剛性聯接、銷型（回轉）和棱柱型（平移）。因此，數控機床只是一類特殊的多體系統，且為開環多體系統，它沒有超出一般多體系統的研究的范圍，可以用多體系統運動學理論來建立三坐標數控機床的運動模型與誤差分析模型。
為了對數控機床的結構進行合理、清楚的表達，這里采用有源二叉樹來描述（如圖3-1所示）。圖中左半部代表“刀具——機架”運動鏈，右半部代表“工件——機架”運動鏈，左右兩運動鏈用包含轉軸和線性軸的二叉樹表示，通過分別在左右兩運動鏈內選擇轉軸和線性軸的不同組合形式，可構成不同的數控機床。該樹的每個中節點有一個前驅節點和兩個后繼節點，樹葉節點僅有一個前驅節點沒有后繼節點，這些節點代表了機床的不同運動部件。樹根節點無前驅節點，僅有兩個后繼節點，樹根幾點代表了機床床身，它的兩個后繼節點分別描述了刀具分支及工作臺分支這一屬性。除樹根節點以外的其他節點，與去后續節點的連接，均描述了其后續節點的運動屬性，如回轉及回轉方向或平移及平移方向。這樣，通過這一形象且簡單的數據結構，用戶可以很方便的準確定義其所使用的數控機床。
圖3-1 機床結構二叉樹描述
3.2 數控機床通用運動模型的建立
數控機床是一類僅有兩個分支的特殊多體系統，體與體之間的鏈接用到單自由度的平移和銷鏈接。雖然數控機床一般最多只有五個運動部件，但這五個運動部件的運動形式以及各部件處于哪個分支卻十分靈活多變，為給出各種數控機床的通用運動模型，特提出如圖3-2所示的多體系統拓撲結構模型。
圖3-2中共有兩個分支，每個分支各含有五個運動體，相鄰體間均以六個相對自由度來建模。該模型應用于具體的數控機床時，將根據上述數控機床二叉樹數據結構，將多體系統中多余的物體參數約束為零，從而達到具體數控機床的準確描述。
圖3-2 不考慮幾何誤差的數控機床多體系統通用模型
在圖3-2的模型中，“工件—機架”運動鏈B—W由如下體鏈接而成： ，其中為5個運動體，相鄰體之間的運動為平動或者轉動；“刀具—機架”運動鏈B—T，由如下體鏈接而成：，其中為5個運動體，相鄰體之間的運動為平動或者轉動。
根據多體系統理論，在無誤差情況下，典型體上點P在慣性坐標系R中的位置可表示為：
(3-1)
式中 ——不考慮誤差情況下，典型體體坐標系相對于慣性坐標系的實
際變換矩陣，可表示為：
式中 ——理想情況下，低序體分支中體的運動參考坐標系相對于體
的體參考坐標系變化矩陣；
——理想情況下，低序體分支中體的體參考坐標系相對于其體運
動參考坐標系的變化矩陣；
由以上分析可以得出，對于圖3-2的模型中“工件—機架”運動鏈，典型體W（工件）體坐標系上給定點P在慣性坐標系中的實際位置表示為：
(3-2)
式中 ——典型體（工件）坐標系中給定點P在慣性坐標系R中的位置列陣；
——典型體（工件）坐標系上給定點P在工件坐標系中的位置陣列；
——不考慮誤差情況下典型體W體坐標系相對慣性坐標系的變換陣
(3-3)
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