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關于教學用的數學知識研究回顧及啟示
論文摘要：教學用的數學知識研究經歷了數學知識研究、數學課程知識研究和教學用的數學知識研究三個階段。教學用的數學知識通過對數學教學的核心活動進行分析，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。它是有效教學的知識基礎，應該成為教師教育的主要內容。
論文關鍵詞：數學；教學；知識；教師教育
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。
4．獲取這種教學用的數學知識的方法是對數學課堂教學的核心活動進行分析。這些活動包括鑒定學生已經知道了什么；選擇和管理所教數學概念的表征；評價、選擇和修改教科書；在各種教學策略中做出決策；找到支持這種決策所需的資源；控制學生的討論。數學課堂教學的核心活動框架可以更有針對性地分析數學課堂�？梢酝高^表象抓住本質，沉淀下教學用的數學知識庫，為教師教育提供內容，為教師專業發展提供支持。教師采用Ball的方法來分析自己的課堂，能夠忽略枝節，抓住要害，逐步提高自己的教學分析技能。
5．教師教育尤其是在職培訓應結合具體課例。如果Ball不分析自己的課堂，是不會發現在退位減法的課上，會隱藏著同構等數學概念。同構的命題有不同的解釋，這些不同的解釋模型學生接受上有難易之分，在教學策略上有很大的不同。這啟示我們，在教師教育尤其是在職培訓時，教師需要的是結合具體課例的指導，而不是泛泛地教育理念說教。顧泠沅先生的調查也證明了教師的這一需求。需要指出的是，教學用的教學用的數學知識具有情境性、個人性的一面，并不完全是命題性的公共知識，教師在學習時也不能完全照搬，需要針對自己的特質和學生的特質，進行改造。盡管這樣，教學用的數學知識體現了數學教師的專業性，是把數學教師與數學家、數學教育理論家區分出的專業知識，是數學教師專業發展的實質。教師積累和學習特定課題的、教學用的教學用的數學知識，是專業發展的主要方式。
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