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談常見效用函數下臨界保費的計算
論文關鍵詞:效用函數 臨界保費 理賠
論文摘要:根據保險人保險定價的效用方程,分別討論了在3種不同效用函數下的臨界保費.
從管理決策的角度看,保險產品的定價問題、準備金提留問題、再保險自留額問題以及資產負債配比問題都是風險和不確定條件下的決策.從風險決策的理論和實踐知道,合理的決策不僅取決于對外在環境的不確定的把握,而且取決于決策者對自身的價值結構判斷.在保險學中,通過引入效用函數來描述決策者的風險態度、偏好和價值結構,并將它與潛在損失或理賠的概率評估有機結合起來,從更加綜合的角度尋求諸多保險決策問題的解.
一般地,決策者的風險態度被分為三種類型:風險偏好、風險厭惡和風險中立,分別對應著他們的效用函數u(x)的曲線為上凸、下凸和直線三種情況.最普遍的情況是厭惡風險,本文重點討論此種情況.
1 保險定價問題
引理1(Jensen不等式) 設決策者的風險是厭惡風險,即它的效用函數u(x)滿足u′(x)>0,u″(x)<0,則對于隨機變量X,成立如下不等式E[u(X)]≤u[E(X)].
假定決策者(保險人)擁有財富W.若要承保,則可以在原有財富W的基礎上增加一筆保費收入G,但是得替被保險人承擔風險,其財富變成了隨機變量W+G-X,其中隨機變量X表示風險,其概率分布為F(x).若不承保,則保險人確定地擁有財富W.設保險人關于確定量和關于隨機變量分布的效用函數分別為u(x)和U[X],則對保險人而言,“合理”的承保保費應滿足不等式U[W+G-X]≥u(W).G越小,要承保的效用U[W+G-X]越小,當G小到使等號成立時,承保已無任何吸引力,所以保險人愿意接受的最底保費G*是使得上式等號成立的臨界值,稱為臨界保費.
根據期望效用原理,隨機變量X的“效用”U[X]可以轉化為隨機變量函數u(X)的期望,即
U([X])=E[u(X)]=∫Du(x)dF(x).
其中F(x)是隨機變量X的分布函數,D是隨機變量X的取值范圍.
2 主要結論
對于風險決策者常用的效用函數有以下幾種:直線型效用函數、拋物線型效用函數、指數型效用函數、對數型效用函數和分數冪型效用函數等.下面給出前3種情況下的臨界保費.命題
1 設保險人的效用函數為直線型,
u(x)=ax+b,理賠X的概率分布為F(x),則臨界保費G*=E[X].
證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
=E[a(W+G*-X)+b]
=aW+aG*-aE[X]+b,
u(W)=aW+b,
聯立兩式得 G*=E[X].
命題1說明對于風險態度中立的決策者來說,臨界保費即是純保費,但這只是一種理想的情況.命題2 設保險人的效用函數為拋物線型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假設理賠X的概率分布為F(x),則此時臨界保費為
G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
= 12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)
=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},
u(W)=W-αW2,
聯立兩式得下列方程
-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW -1)E[X]-αE[X2]=0.
解關于G*的一元二次方程得
G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α
=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
特別地,當W=0時,
G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)
≈E[X]+ασ2(X), 此時σ2(X) 12α.這正是非壽險保費定價中的“方差原理”,因為在金融分析中常用方差(或標準差)來度量風險的大小,方差越大,不確定的程度越大.保險人把它作為一條加費的理由,因而在純保費E[X]的基礎上又多了一項“安全附加費用”.
命題3 設保險人的效有函數為指數型,u(x)=-e-αx,α>0,假設理賠X的概率分布為F(x),則此時臨界保費為G*=1αlnMX(α),其中MX(α)為理賠隨機變量X的矩母函數.證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])
= +∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)
=-e-α(W+G*) +∞0eαxdF(x)
=-e-α(W+G)*MX(α),
u(W)=-eαW,
聯立兩式得 G*=1αMX(α).
可以看出對于這類特殊的效用函數,臨界保費與保險人所擁有的財富大小無關.
3 總結
效用理論一直是研究在風險和不確定條件下進行合理決策的理論基礎,保險研究之中除保險定價以外,決定合理的準備金、自留額以及選擇合理的財務方案都可以以此作為決策的原理.因此,它具有很強的理論指導作用.
從以上幾個例子可以看出,實際保險定價中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不過是期望效用的特殊形式,它們對應著一次、二次多項式等簡單的效用函數.類似地,還可以討論對數效用函數u(x)=lnx、分數冪效用函數u(x)=xr(0<r<1)等其他常見效用函數所對應的情況.
參考文獻
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