數學建模在數值分析教學中的實踐
數值分析主要研究求解數學模型的算法及有關理論，是求解數學模型的不可缺少的途徑和手段，下面是小編搜集整理的一篇探究數學建模思想與數值分析的論文范文，歡迎閱讀參考。
摘要：為有效地實施數值分析課程的實踐教學，首先分析了數學建模思想與數值分析課程教學有機融合的必要性，然后針對數值分析的不同教學內容，介紹了幾個精選的數學建模實踐教學案例。通過在數值分析教學中融入數學建模的實踐，不但可以使學生較好的掌握數值分析的有關理論與方法，而且還可以培養學生的數學建模能力。
關鍵詞：數值分析;教學實踐;數學建模;案例教學
數值分析作為高等院校應用數學專業、信息與計算科學專業的主要基礎課程和很多理工科專業的公共課，主要研究求解數學模型的算法及有關理論，是求解數學模型的不可缺少的途徑和手段。在信息科學和計算機技術飛速發展的今天，數值分析課程中所介紹的數值方法更顯得極其重要。與其它數學課程的最明顯的區別在于，數值分析是一門更注重應用的科學，特別注意在方法的精確性和計算的效率之間的平衡。傳統的教學模式只注重講授數值方法的原理，算法的理論推導占據了整個教學過程的大部分時間，再加上缺乏實踐環節的教學，就使得學生不能很好的運用所學的理論去解決實際問題[1]。
既然數值分析主要研究數學模型的求解算法及有關理論，因此將數學建模思想融入到數值分析的教學中是可行的[2]。為有效地實施數值分析課程的實踐教學，本文主要介紹了幾個針對數值分析不同教學內容的數學建模實踐教學案例，這些精選的案例都涉及到相關的數值分析理論和方法。通過對實際問題進行數學模型的建立和求解，將數學建模思想和數值分析教學進行有機的融合，不但可以激發學生的學習積極性和學習興趣，提高了學習效率，而且可以培養學生運用數值方法求解實際問題的能力。
1數學建模思想與數值分析課程教學有機融合的必要性
數值分析是一門理論抽象但實踐性較強的課程，傳統的教學模式一般只注重理論證明和公式推導，再加上學時的限制，很少會利用數學軟件進行相應的實踐性教學，導致學生只掌握了數值分析中的基本方法和原理，而運用數值方法解決實際問題的能力沒有得到較好的鍛煉。也正因為如此，學生的學習積極性不高，大部分學生不知道或者根本沒有想過可以利用所學的數值方法去解決很多實際的問題。因此，針對數值分析課程的特點，采取可行的教學改革是有必要的'。許多從事數值分析課程教學的工作者在這一方面作了很多的嘗試和探索。例如，文獻[3]講述了任務驅動教學法在數值分析實驗課教學中的實施步驟及過程，并給出具體實例。文獻[4]以MATLAB作為工作語言和開發環境，開發了一個能有效地輔助數值分析課程教學的軟件。
從數值分析課程的特點和教學目標來看，培養學生運用數值方法解決問題的能力是該課程的重點所在[5]。而數學建模主要考察的是學生將實際問題抽象成數學模型，然后利用綜合知識求解數學模型的能力。通過對歷年來全國大學生數學建模競賽進行分析發現，許多數學模型的求解都會用到數值分析課程中的各種數值方法。因此，將數學建模思想與數值分析課程教學進行有機的融合是非常必要的。在數值分析課程的各個教學模塊中，通過實際的數學建模案例進行數值方法與理論的講解，讓學生覺得所學的知識在實際工程問題中具有很大的應用價值，這樣既可以吸引學生的眼球，提高學習效率，同時也可以培養學生運用數值方法解決實際問題的能力。
由表2可知兩點三次Hermite插值多項式計算斷面面積的誤差最小，其次是三次樣條插值多項式，誤差最大的是三次Lagrange插值多項式，即所得結論與理論是相符的。
通過此案例，不但可以讓學生掌握不同插值法的基本原理，而且還可以讓學生體會到不同插值法的特征：三次Lagrange插值多項式(三次Newton插值多項式)分段光滑，兩點三次Hermite插值多項式整體一階光滑，而三次樣條插值多項式整體二階光滑。
2數據擬合的案例教學實踐
所謂數據擬合是指已知某函數的若干離散函數值，通過調整該函數中若干待定系數，使得該函數與已知點的差距最小，最常用的數據擬合方法為最小二乘法。在數據擬合的教學中，可采用下列數學建模問題的求解進行案例教學。
例2：數據擬合教學案例――上海市就業人口預測
已知2000年～2009年上海市每年的就業人口數，如表3所示，現要預測2010年上海市的就業人口數，并與2010年真實的就業人口數(1574.6萬人)進行對比分析。
表3上海市就業人口統計(單位:萬人)
圖2上海市就業人口數擬合圖形
通過此案例的教學，不但可以讓學生理解最小二乘曲線擬合的基本原理與步驟，而且還可以為學生參加數學建模競賽時進行數據處理打下基礎。
2.3數值微分的案例教學實踐
所謂數值微分是指根據函數在一些離散點的函數值，構造一個較為簡單的可微函數近似代替該函數，并將簡單函數的導數作為該函數在相應點處導數的近似值。常用的數值微分公式有差商公式、兩點公式、三點公式等。在數值微分的教學中，可采用下列數學建模問題的求解進行案例教學。
例3數值微分教學案例――人口增長率[7]
已知1950年～2000年每10年中國人口的統計數據如表1所示，試計算這些年份的人口增長率。
表4中國人口統計數(單位：億人)
3結束語
為有效地實施數值分析課程的實踐教學，本文主要介紹了幾個針對數值分析不同教學內容的數學建模實踐教學案例。通過對實際問題進行數學模型的建立和求解，將數學建模思想融入到數值分析的教學中，不但可以讓學生較好的掌握數值分析的有關理論與方法，而且還可以培養學生的數學建模能力，為參加數學建模競賽時打下一定的基礎。
參考文獻：
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