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      1. “等”對“不等”的啟示

        時間:2024-07-26 22:07:00 物理畢業論文 我要投稿
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        “等”對“不等”的啟示

          對于解集非空的一元二次不等式的求解,我們常用“兩根之間”、“兩根之外”這類簡縮語來說明其結果,同時也表明了它的解法.這是用“等”來解決“不等”的一個典型例子.從表面上看,“等”和“不等”是對立的,但如果著眼于“等”和“不等”的關系,會發現它們之間相互聯系的另一面.設M、N是代數式,我們把等式M=N叫做不等式M<N,M≤N,M>N、M≥N相應的等式.我們把一個不等式與其相應的等式對比進行,發現“等”是“不等”的“界點”、是不等的特例,稍微深入一步,可以從“等”的解決來發現“不等”的解決思路、與技巧.本文通過幾個常見的典型例題揭示“等”對于“不等”在解決上的啟示.
        ? 1.否定特例,排除錯解
         ?解不等式的實踐告訴我們,不等式的解區間的端點是它的相應等式(方程)的解或者是它的定義區間的端點(這里我們把+∞、-∞也看作端點).因此我們可以通過端點的驗證,否定特例,排除錯解,獲得解決問題的啟示.
         ?例1 滿足sin(x-π/4)≥1/2的x的集合是().
        ??A.{x|2kπ+5π/12≤x≤2kπ+13π/12,k∈Z}
        ??B.{x|2kπ-π/12≤x≤2kπ+7π/12,k∈Z}
        ??C.{x|2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z}
        ??D.{x|2kπ≤x≤2kπ+π/6,k∈Z}∪{2kπ+5π/6≤(2k+1)π,k∈Z}(1991年三南試題)
         ?:當x=-π/12、x=π/6、x=0時,sin(x-π/4)<0,因此排除B、C、D,故選A.
         ?例2 不等式 +|x|/x≥0的解集是().
        ??A.{x|-2≤x≤2}
        ??B.{x|- ≤x<0或0<x≤2}
        ??C.{x|-2≤x<0或0<x≤2}
        ??D.{x|- ≤x<0或0<x≤ }
        ? 分析:由x=-2不是原不等式的解排除A、C,由x=2是原不等式的一個解排除D,故選B.
         ?這兩道題若按部就班地解來,例1是易錯題,例2有一定的運算量.上面的解法省時省力,但似有“投機取巧”之嫌.選擇題給出了三誤一正的答案,這是問題情景的一部分.而且是重要的一部分.我們利用“等”與“不等”之間的內在聯系,把目光投向解區間的端點,化繁為簡,體現了具體問題具體解決的樸素思想,這種“投機取巧”正是抓住了問題的特征,體現了數學思維的敏捷性和數學地解決問題的機智.在解不等式的解答題中,我們可以用這種方法來探索結果、驗證結果或縮小探索的范圍.
         ?例3 解不等式loga(1-1/x)>1.(1996年全國高題)
         ?分析:原不等式相應的等式--方程loga(1-1/x)=1的解為x=1/(1-a)(a≠1是隱含條件).原不等式的定義域為(1,+∞)∪(-∞,0).當x→+∞或x→-∞時,loga(1-1/x)→0,故解區間的端點只可能是0、1或1/(1-a).當0<a<1時,1/(1-a)>1,可猜測解區間是(1,1/(1-a));當a>1時,1/(1-a)<0,可猜測解區間是(1/(1-a),0).當然,猜測的時候要結合定義域考慮.
         ?上面的分析,可以作為解題的探索,也可以作為解題后的回顧與檢驗.如果把原題重做一遍視為檢驗,那么一則費時,對考試來說無實用價值,對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義;二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程序的復轍,費時而于事無補.因此,抓住端點探索或檢驗不等式的解,是一條實用、有效的解決問題的思路.
         ?2.誘導猜想,發現思路
         ?當我們證明不等式M≥N(或M>N、M≤N、M<N)時,可以先考察M=N的條件,基本不等式都有等號成立的充要條件,而且這些充要條件都是若干個正變量相等,這就使我們的思考有了明確的目標,誘導猜想,從而發現證題思路.這種思想方法對于一些較難的不等式證明更能顯示它的作用.
         ?例4 設a、b、c為正數且滿足abc=1,試證:1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥3/2.(第36屆IMO第二題)
         ?分析:容易猜想到a=b=c=1時,原不等式的等號成立,這時1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考慮到“≥”在基本不等式中表現為“和”向“積”的不等式變換,故想到給原不等式左邊的每一項配上一個因式,這個因式的值當a=b=c=1時等于1/2,且能通過不等式變換的運算使原不等式的表達式得到簡化.
         ?1/a3(b+c)+(b+c)/4bc≥ =1/a,
         ?1/b3(a+c)+(a+c)/4ca≥1/b,

         ?1/c3(a+b)+(a+b)/4ab≥1/c,
         ?將這三個等式相加可得
         ?1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥1/a+1/b+1/c-(1/4)[(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab]=(1/2)(1/a+1/b+1/c)≥(3/2) =3/2,從而原不等式獲證.
         ?這道題看似不難,當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分.上述湊等因子的思路源于由等號的成立條件而產生的猜想,使思路變得較為,所用的知識是一般高中生所熟知的.再舉二例以說明這種有較大的適用范圍.
         ?例5 設a,b,c,d是滿足ab+bc+cd+da=1的正實數,求證:a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥1/3.(第31屆IMO備選題)
         ?證明:a3/(b+c+d)+a(b+c+d)/9≥(2/3)a2,
         ?b3/(a+c+d)+b(a+c+d)/9≥(2/3)b2,
         ?c3/(a+b+d)+c(a+b+d)/9≥(2/3)c2,
         ?d3/(a+b+c)+d(a+b+c)/9≥(2/3)d2.
         ?∴ a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥(2/3)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da+ac+bd)
         ?=(5/9)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da)+(1/9)(a2+c2-2ac+b2+d2-2bd)
         ?≥(5/9)(a2+b2+c2+d2)-(2/9)(ab+bc+cd+da)≥(5/9)(ab+bc+cd+da)-(2/9)(ab+bc+cd+da)=(1/3)(ab+bc+cd+da)=1/3.
         ?當a=b=c=d=1/2時,原不等式左邊的四個項都等于1/12,由此出發湊“等因子”.對于某些中學數學中的常見也可用這種方法解決,降低問題解決對知識的要求.
         ?例6 設a,b,c,d∈R+,a+b+c+d=8,求M= + + + 的最大值.
         ?:猜想當a=b=c=d=2時M取得最大值,這時M中的4個項都等于3.要求M的最大值,需將M向“≤”的方向進行不等變換,由此可得3 ≤(3+4a+1)/2=2a+2,3 ≤2b+2,3 ≤2c+2,3 ≤2d+2.于是3M≤2(a+b+c+d)+8=24,∴M≤8.當且僅當a=b=c=d時等號成立,所以M的最大值為8.
         ?當然,例6利用平方平均數不小于算術平均數是易于求解的,但需要高中數學教材外的知識.利用較少的知識解決較多的問題,是數學自身的追求,而且從教學上考慮,可以更好地培養學生的數學能力.先有猜想,后有設計,再有證法,也是數學地思考問題的基本特征.
         ?3.引發矛盾,啟迪探索
         ?在利用基本不等式求最大值或最小值時,都必須考慮等號能否取得,這不僅是解題的規范要求,而且往往對問題的解決提供有益的啟示.特別當解題的過程似乎順理成章,但等號成立的條件卻發生矛盾或并不一定成立.這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索.
         ?例7 設a,b∈R+,2a+b=1,則2 -4a2-b2有().
        ??A.最大值1/4?。拢钚≈1/4
        ??C.最大值( -1)/2? D.最小值( -1)/2
        ? 分析:由4a2+b2≥4ab,得原式≤2 -4ab=-4( )2+2 =-4( -1/4)2+1/4≤1/4.若不對不等變換中等號成立的條件進行,似已完成解題任務,而且覺得解題過程頗為自然,但若研究一下等號成立的條件,則出現了矛盾:要使4a2+b2≥4ab中的等號成立,則應有2a=b=1/2,這時 = /4≠1/4,第二個“≤”中的等號不能成立.這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤,促使我們另辟解題途徑.事實上,原式=2 -(2a+b)2+4ab=4ab+2 -1,而由1=2a+b≥2 得0< ≤ /4,ab≤1/8,∴原式≤ /2+1/2-1=( -1)/2,故選?C.

         ?等號不一定成立而啟迪我們對進一步探索的典型例子是1997年全國高考(理科)第22題:
         ?例8 甲、乙兩地相距S千米(km),汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/小時(km/h).已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比,比例系數為b,固定部分為a元.
         ?Ⅰ.把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時)的函數,并指出這個函數的定義域;
         ?Ⅱ.為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大的速度行駛?
         ?:y=aSv+bSv,v∈(0,c],由y≥2S 當且僅當aS/v=bSv,即當v= 時等號成立得,當v= 時y有最小值.這是本題的正確答案嗎?那就得考慮v= 是否一定成立.當 ≤c時可以,但 是有可能大于c的.這就引發了我們進行分類討論的動機,同時也獲得分類的標準.
         ?綜上所述,“等”是不等式問題中一道特殊的風景,從“等”中尋找問題解決的思路,本質上是特殊化思想在解題中的.從教學上看,引導學生注視不等式問題中的“等”,是教會學生發現問題、提出問題,從而分析問題、解決問題的契機.

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