- 相關(guān)推薦
談常見效用函數(shù)下臨界保費(fèi)的計(jì)算
論文關(guān)鍵詞:效用函數(shù) 臨界保費(fèi) 理賠
論文摘要:根據(jù)保險(xiǎn)人保險(xiǎn)定價(jià)的效用方程,分別討論了在3種不同效用函數(shù)下的臨界保費(fèi).
從管理決策的角度看,保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)問題、準(zhǔn)備金提留問題、再保險(xiǎn)自留額問題以及資產(chǎn)負(fù)債配比問題都是風(fēng)險(xiǎn)和不確定條件下的決策.從風(fēng)險(xiǎn)決策的理論和實(shí)踐知道,合理的決策不僅取決于對外在環(huán)境的不確定的把握,而且取決于決策者對自身的價(jià)值結(jié)構(gòu)判斷.在保險(xiǎn)學(xué)中,通過引入效用函數(shù)來描述決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、偏好和價(jià)值結(jié)構(gòu),并將它與潛在損失或理賠的概率評估有機(jī)結(jié)合起來,從更加綜合的角度尋求諸多保險(xiǎn)決策問題的解.
一般地,決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度被分為三種類型:風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)中立,分別對應(yīng)著他們的效用函數(shù)u(x)的曲線為上凸、下凸和直線三種情況.最普遍的情況是厭惡風(fēng)險(xiǎn),本文重點(diǎn)討論此種情況.
1 保險(xiǎn)定價(jià)問題
引理1(Jensen不等式) 設(shè)決策者的風(fēng)險(xiǎn)是厭惡風(fēng)險(xiǎn),即它的效用函數(shù)u(x)滿足u′(x)>0,u″(x)<0,則對于隨機(jī)變量X,成立如下不等式E[u(X)]≤u[E(X)].
假定決策者(保險(xiǎn)人)擁有財(cái)富W.若要承保,則可以在原有財(cái)富W的基礎(chǔ)上增加一筆保費(fèi)收入G,但是得替被保險(xiǎn)人承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn),其財(cái)富變成了隨機(jī)變量W+G-X,其中隨機(jī)變量X表示風(fēng)險(xiǎn),其概率分布為F(x).若不承保,則保險(xiǎn)人確定地?fù)碛胸?cái)富W.設(shè)保險(xiǎn)人關(guān)于確定量和關(guān)于隨機(jī)變量分布的效用函數(shù)分別為u(x)和U[X],則對保險(xiǎn)人而言,“合理”的承保保費(fèi)應(yīng)滿足不等式U[W+G-X]≥u(W).G越小,要承保的效用U[W+G-X]越小,當(dāng)G小到使等號成立時(shí),承保已無任何吸引力,所以保險(xiǎn)人愿意接受的最底保費(fèi)G*是使得上式等號成立的臨界值,稱為臨界保費(fèi).
根據(jù)期望效用原理,隨機(jī)變量X的“效用”U[X]可以轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量函數(shù)u(X)的期望,即
U([X])=E[u(X)]=∫Du(x)dF(x).
其中F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),D是隨機(jī)變量X的取值范圍.
2 主要結(jié)論
對于風(fēng)險(xiǎn)決策者常用的效用函數(shù)有以下幾種:直線型效用函數(shù)、拋物線型效用函數(shù)、指數(shù)型效用函數(shù)、對數(shù)型效用函數(shù)和分?jǐn)?shù)冪型效用函數(shù)等.下面給出前3種情況下的臨界保費(fèi).命題
1 設(shè)保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為直線型,
u(x)=ax+b,理賠X的概率分布為F(x),則臨界保費(fèi)G*=E[X].
證明 考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
=E[a(W+G*-X)+b]
=aW+aG*-aE[X]+b,
u(W)=aW+b,
聯(lián)立兩式得 G*=E[X].
命題1說明對于風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度中立的決策者來說,臨界保費(fèi)即是純保費(fèi),但這只是一種理想的情況.命題2 設(shè)保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為拋物線型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時(shí)臨界保費(fèi)為
G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
證明 考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
= 12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)
=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},
u(W)=W-αW2,
聯(lián)立兩式得下列方程
-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW -1)E[X]-αE[X2]=0.
解關(guān)于G*的一元二次方程得
G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α
=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
特別地,當(dāng)W=0時(shí),
G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)
≈E[X]+ασ2(X), 此時(shí)σ2(X) 12α.這正是非壽險(xiǎn)保費(fèi)定價(jià)中的“方差原理”,因?yàn)樵诮鹑诜治鲋谐Ｓ梅讲?或標(biāo)準(zhǔn)差)來度量風(fēng)險(xiǎn)的大小,方差越大,不確定的程度越大.保險(xiǎn)人把它作為一條加費(fèi)的理由,因而在純保費(fèi)E[X]的基礎(chǔ)上又多了一項(xiàng)“安全附加費(fèi)用”.
命題3 設(shè)保險(xiǎn)人的效有函數(shù)為指數(shù)型,u(x)=-e-αx,α>0,假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時(shí)臨界保費(fèi)為G*=1αlnMX(α),其中MX(α)為理賠隨機(jī)變量X的矩母函數(shù).證明 考慮保險(xiǎn)人定價(jià)的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])
= +∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)
=-e-α(W+G*) +∞0eαxdF(x)
=-e-α(W+G)*MX(α),
u(W)=-eαW,
聯(lián)立兩式得 G*=1αMX(α).
可以看出對于這類特殊的效用函數(shù),臨界保費(fèi)與保險(xiǎn)人所擁有的財(cái)富大小無關(guān).
3 總結(jié)
效用理論一直是研究在風(fēng)險(xiǎn)和不確定條件下進(jìn)行合理決策的理論基礎(chǔ),保險(xiǎn)研究之中除保險(xiǎn)定價(jià)以外,決定合理的準(zhǔn)備金、自留額以及選擇合理的財(cái)務(wù)方案都可以以此作為決策的原理.因此,它具有很強(qiáng)的理論指導(dǎo)作用.
從以上幾個例子可以看出,實(shí)際保險(xiǎn)定價(jià)中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不過是期望效用的特殊形式,它們對應(yīng)著一次、二次多項(xiàng)式等簡單的效用函數(shù).類似地,還可以討論對數(shù)效用函數(shù)u(x)=lnx、分?jǐn)?shù)冪效用函數(shù)u(x)=xr(0<r<1)等其他常見效用函數(shù)所對應(yīng)的情況.
參考文獻(xiàn)
[1]謝志剛,韓天雄.風(fēng)險(xiǎn)理論與非壽險(xiǎn)精算[M].天津:南開大學(xué)出版社,2000.
[2]茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2000.
[3]盧仿先,曾慶五.壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)[M].天津:南開大學(xué)出版社,2001.
[4]胡炳志.保險(xiǎn)數(shù)學(xué)[M].北京:中國金融出版社,1991.
【談常見效用函數(shù)下臨界保費(fèi)的計(jì)算】相關(guān)文章：
有關(guān)計(jì)算機(jī)常見故障排除與日常維護(hù)05-18
談企業(yè)管理在新經(jīng)濟(jì)形勢下的發(fā)展趨勢08-22
網(wǎng)絡(luò)信息安全技術(shù)管理下計(jì)算機(jī)應(yīng)用論文04-26
談新《企業(yè)會計(jì)準(zhǔn)則》下待攤及預(yù)提費(fèi)用的處理09-19
談新會計(jì)制度下的企業(yè)財(cái)務(wù)管理模式論文04-24
也談《論語》的得名05-30
談合唱的基本訓(xùn)練08-10
云計(jì)算環(huán)境下的大規(guī)模圖數(shù)據(jù)處理技術(shù)思考論文（精選7篇）07-26