小升初重點知識點：余數問題

小升初重點知識點：余數問題

　　一、中國古代剩余定理

　　我國明朝有位大數學家叫程大位，他在解答“物不知其數”問題（即：有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？）時用四句詩概括出這類問題的優秀解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知．”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙，它被世界各國稱為“中國剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我國古代數學的一項輝煌成果。詩中的每一句話都表示一個步驟：三人同行七十稀，是說除以3所得的余數用70乘。五樹梅花廿一枝，是說除以5所得的余數用21乘。七子團圓正月半，是說除以7所得的余數用15乘。除百零五便得知，是說把上面乘得的3個積加起來，減去105的倍數，減得差就是所求的數。此題的中國剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數，21乘5除所得的余數，15乘7除所得的余數，把這3個結果加起來，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續減去105，最后所得的整數就是所求。

　　二、余數性質

　　同余定義

　　如果a，b除以c的余數相同，就稱a，b對于除數c來說是同余的，且有a與b的差能被c整除。（a，b，c均為自然數）

　　例如：17與13除以3的余數都是2，所以(17－11)能被3整除。

　　同余定理

　　（一）可加性

　　a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。

　　例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(23+16)除以5的余數等于3+1=4。

　　注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。

　　例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以(23+19)除以5的余數等于(3+4)除以5的余數。

　　（二）可減性

　　a與b的差除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之差。

　　例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以(23－16)除以5的余數等于3－1=2。

　　注意：當較大數的余數小于較小數的余數時，所求余數等于c減去余數之差。

　　例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以除以(23－19)的余數等于5－(4－3)=4。

　　（三）可乘性

　　a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。

　　例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以除以5的余數等于。

　　注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。

　　例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以除以5的余數等于除以5的余數。

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