三角教材與教法的新思考

時間：2022-05-27 19:14:40 教育畢業論文我要投稿

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關于三角教材與教法的新思考

1998年4月21日，國家教育部專門調整了高中數學的部分教學內容，其中的調整意見第(7)條為：“對三角函數中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶。”再聯想到1998年全國高考數學卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現次數，

在僅有的一次應用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當時調整意見尚未生效（應在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。

　　但是，這次調整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。

　　我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點內容之一。相當部分的三角題都是圍繞它們而設計的，它們也確實在很大程度上體現了公式變形的技巧和魅力�，F在，要求降低了，有關的題目已不再適合作為例（習）題選用了。這樣一來，

三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。

　　有鑒于此，我認為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學思路，以便真正落實這次調整的意見，實現“三個有利于”（有利于減輕學生過重的課業負擔，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩定普通高中的教育教學秩序）

的既定目標。

　　一、是“三角”還是“函數”

　　應當說，三角函數是由“三角”和“函數”兩部分知識構成的。三角本是幾何學的衍生物，肇始于古希臘的希帕克，經由托勒玫、利提克思等。至歐拉而終于成為一門形態完備、枝繁葉茂的古典數學學科。歷史上的很長一段時期，只有《

三角學》盛行于世，卻無“三角函數”之名。

　　“三角函數”概念的出現，自然是在有了函數概念之后，從時間上看距今不過300余年。但是，此概念一經引入，立刻極大地改變了三角學的面貌。特別是經過羅巴切夫斯基的開拓性工作。致使三角函數可以完全獨立于三角形之外，而成

為分析學的一個分支，其中的角也不限于正角，而是任意實數了。有的學者甚至認為可將它更名為角函數，這是有見地的。

　　所以，作為一門學科的《三角學》已經不再獨立存在�，F行中學教材也取消了原來的《代數》、《三角》、《幾何》的格局，將三角并入了代數內容。這本身即足以說明“函數”在“三角”中應占有的比重。

　　再從《代數學》的歷史演變來看，在相當長的歷史時期內，“式與方程”一直是它的核心內容，那時的教材都是圍繞著它們展開的。所以，書中的分式變形、根式變形、指數式變形和對數式變形可謂連篇累牘、所在皆是。這是由當時的數學認知水平決定的。而現在，函數已取代了式與方程成為代數的核心內容，比起運算技巧和變形套路來，人們更關注函數思想的認識價值和應用價值。1963年頒布的《數學教學大綱》提出數學三大能力時，首要強調的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強調的則是“邏輯思維能力”�，F行高中《代數》課本中，充分闡發了冪函數、指數函數、對數函數的圖象和性質及應用，對這三種代數式的變形卻輕描淡寫。

　　所以，三角函數部分應重在“函數的圖象和性質”是無疑的，這也是國際上普遍認可的觀點（下文還將述及）。

　　現行高中《代數》的三角函數部分，也單列了一章專講“三角函數的圖象和性質”，這是與數學發展的潮流相一致的。但若提起三角函數，大多數師生頭腦中反映出來的，還是“眾多的公式，紛繁的變換”，而三角函數的“圖象和性質”倒是在其次的。這一點，與前面所述的“冪、指、對”函數有著極大的反差，恐怕也與編者的意圖大相徑庭。個中緣由固然與三角本身多公式有關，其中和積互化8公式的干擾作用尤其明顯。8公式形式類似，記憶也屬不易，變形尤難把握，是師生教與學的共同難點。為此反復記憶、題海操練實所難免。

　　調整以后，降低這部分的要求，大面積地減少了題量，目標中“第一和第三”兩個有利于是可以實現的。但另一個（有利于深化課程改革）該如何理解呢？把“函數”作為關鍵詞，將目光放在“圖象和性質”上，應當是正確的選擇，負擔輕

了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉移到對函數圖象和性質的關注上，這才是“三個有利于”得以貫徹的根本。

　　二、國外的觀點及啟示

　　下面來看一下美國和德國的觀點：

　　美國沒有全國統一的教材和《考試說明》，只有一個《課程標準》，在《課程標準》中，他們對三角函數提出了下面的要求：

　　會用三角學的知識解三角形；會用正弦、余弦函數研究客觀實際中的周期現象；掌握三角函數圖象；會解三角函數方程；會證基本的和簡單的三角恒等式；懂得三角函數同極坐標、復數等之間的聯系。

他們還特別指出：不要在推導三角恒等式上花費過多的時間。只要掌握一些簡單的恒等式推導，如：之類就可以了。比較復雜的恒等式如之類，就應該完全避免了。

　　德國在10到12年級（相當于中國的高一到高三）每年都有三角內容。10年級要求如下：

　　(1)一個角的弧度。

　　(2)三角函數sinx·cosx·tgx和它們的圖象周期性。

　　(3)三角形中角和邊的計算。

　　(4)重要關系（特指同角三角函數的平分關系、商數關系和倒數關系——筆者注）。

　　另外，在11年級和12年級的“無窮小分析”中，繼續研究三角函數的圖象變換、求導、求積分、求極限。

　　從以上羅列，我們可以看出下面的共同點：

　　第一，突出強調三角函數的圖象和性質。

　　第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換。而且要求較低；8公式根本不予介紹。

　　第三，明確變換的目的是為了三角形中的實際計算。

　　第四，注意三角函數和其它知識（復數、極坐標）的聯系。

　　這帶給我們的啟示還是很強烈的。美國和德國的中學教育以實用為主，并不太在乎教材體系是否嚴謹，知識系統是否完整。我國的教材雖作調整，對8公式不要求記憶。同期頒布的《考試說明》仍要求“能推導并掌握（8公式）”。不要求記憶卻要求推導并掌握，怎樣實施且不去細說，有一個意圖是可猜到的，那就是要讓學生知道教材是嚴謹與完整的。我認為這大可不必。嚴謹與完整是相對的�，F在看來嚴謹的東西，在更高的觀點下是否還嚴謹？在圈內看是完整的，跳出圈子看，是否還完整？在一個小地方鉆得太深，在另外更大的地方就可能無暇顧及。人家能在中學學到向量、行列式、微分、積分。我們卻熱衷于在個別地方窮追不舍，這早已引起行家的注意。從這個意義上說。此次調整應當只是第一步。在中學階段即試圖嚴謹與完整。其實是受前蘇聯教育家贊可夫的三高（高速度、高難度、高理論）影響太深的緣故。

　　三、調整后的知識體系分析

　　根據以上的分析，我認為本部分知識應分為兩大塊。即“三角函數的圖象和性質”與“三角變換”，雖然筆者認為后者該進一步刪減，但畢竟目前沒有做到。即使以后能大幅刪減，也肯定會保留適當篇幅，因為三角變換在理論和實際中都有廣泛的應用。

　現將本部分知識體系列表如下：

　這些知識點中，重點應是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其實前幾年的高考對它們也都有充分的體現。只是被8公式的光環所籠罩，我們的重視程度不夠而已。當然，現在我們要提高對這些內容的重視程度。千萬要避免無限拔高。那樣形成前門拒狼（8公式）后門引虎的局面。就大有違調整的初衷。

　　參考文獻

　　1　黃建宏。聯邦德國完全中學的數學基礎學力介紹。數學教學，190(4)

　　2 陳昌平。介紹美國最新課程標準。數學教學，1990(3-4)

作者：不詳

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