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數形結合的思想在初中數學教學中的滲透
論文關鍵詞：思維 滲透 思想方法 思維能力 契合點 創新意識
論文摘要：數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型），（2）建立幾何模型（或函數圖象）解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。
推行素質，培養面向新世紀的合格人才，使學生具有創新意識，在創造中學會學習，教育應更多的關注學生的學習方法和策略。數學家喬治.波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應試教育”向“素質教育”轉變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎知識，基本技能，更為重視考查能力的培養。如基本知識概念、法則、性質、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學生的數學素養，對學生進行思想觀念層次上的數學教育。
數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。
“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法，它是指把代數的精確刻劃與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象直觀相結合的一種思想方法。
數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型），（2）建立幾何模型（或函數圖象）解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。
數形結合的思想方法，不象一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。
教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數形結合思想的的主動應用。
一、 滲透數形結合的思想，養成用數形結合分析問題的意識
每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。
如：直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共性所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。
[1]
例：根據所給圖形在下列橫線上填上合適數字，并說明理由：
-1--,--3---,---6--,----10--,--15----,--21----,---28--,--36---…… --- --在講解通過形來說明數的找規律問題中應該從形中找數。如第一個圖形有一個小正方形，第二個圖形有三個小正方形，第三個圖形有六個小正方形，那么第四個圖形將有幾個小正方形呢？從前三個中尋找規律，第二個比第一個多兩個小正方形，第三個比第二個多三個小正方形，那么第四個就比第三個多四個小正方形，第四個圖形就有十個小正方形，第五個比第四個多五個小正方形，那么第五個就有十五個小正方形，依次類推，第六個圖形就有二十一個小正方形，第七個圖形就有二十八個小正方形，第八個圖形就有三十六個小正方形。那么上面的橫線上分別填上10、15、21、28、36，第n個圖形就應該有1+2+3+4+5+6……+n= 個小正方形。這也體現數形結合的思想。
例2:小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分報紙后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標系中畫出表示父親和母親離家的時間和距離之間的關系嗎？
[2]
結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納出一般性的結論。
二、學習數形結合思想，增強解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力
在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。
數形結合的結合思想主要體現在以下幾種：
�。�1）用方程、不等式或函數解決有關幾何量的問題;
(2)用幾何圖形或函數圖象解決有關方程或函數的問題；（3）解決一些與函數有關的代數、幾何綜合性問題；
�。�4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。
例1：一個角的補角是這個角余角的3倍，求這個角的度數。
解：設這個角為X0，則它的余角為（900-x0）,它的補角為（1800-x0）根據題意得：
1800-x0=3（900-x0）
解這個方程得：x0=450
所以這個角為450
例2：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長為8m,寬為5m。如果地毯中央長方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬?
SHAPE \* MERGEFORMAT
[3]
如果設花邊的寬為xm,那么地毯中央長方形圖案的長_ (8-2x)_________m,寬為___(_5-2x)________m.根據題意，可得方程
______(8-2x)(5-2x)=18_______。
解這個方程得出x的值
這就是用方程的方法來解決有關幾何圖形的問題
例4：A、B 兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B 兩地相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數.
1 時后乙距A地120千米,
2 時后甲距A地 40千米.
問 經過多長時間兩人相遇 ?
�。鄯治觯菘梢苑謩e作出兩人s 與t 之間的關系圖象，
找出交點的橫坐標就行了。
例5：下圖中 L1 ，L2 分別表示 B 離岸起兩船相對于海岸的距離ｓ與追趕時間ｔ之間的關系。
SHAPE \* MERGEFORMAT
[4]
根據圖象回答下列問題：
當時間t等于多少分鐘時，我邊防快艇B能夠追趕上A。
SHAPE \* MERGEFORMAT
分析：可先根據圖象給出的信息，確定L1,L2的函數表達式，然后把兩個一次函數表達式組成方程組，解這個方程組就得到了兩條直線的交點坐標，即為所得結論。
解：由圖象知：直線L2過點（0，6）和點（10，8）直線L2過點（0，0）和點（10，6）設直線L1的表達式為s=k1t;直線L2的表達式為s=k2t+b
所以 10k1=6 k1= s= t
10k2+b=8
b=6 10k2+6=8 10k2=2 k2= b=6
s= t+6
s= t t=15
解這個方程組得：
S= t+6 s=9
所以，當時間t等于15分鐘時，我邊防快艇B能夠追趕上A 。
由以上的幾個例子，我們可以看出數形結合思想的應用往往能使一些錯綜復雜的問題變得直觀，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在學生學習過程中，可以激發學生學習的興趣。
利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握數形結合的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。
參考文獻：
[1] 《全日制義務課程標準（實驗稿）》。北京師范大學出版社
[2] 《初中生學習法與能力培養》任勇
[3] 《2008年陜西中考全程》中考命題研究組
[5]
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