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離散數學教學方法與實踐論文
摘要：離散數學是計算機科學與技術專業的一門重要的專業基礎課，它在計算機科學及相關領域中有著廣泛的應用背景。因此，如何提高離散數學課程的教學水平和質量，對學生后續課程的學習和今后的科學研究均具有現實意義。
關鍵詞：離散數學；教學改革；教學方法
0 引言
《離散數學》是計算機科學中重要的基礎理論課程之一，它不僅是許多計算機專業課的必備基礎，而且對培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。但這門課程具有概念多、理論性強、高度抽象等特點，這無疑給教師的教學和學生的學習帶來一定的難度。因此，如何提高離散數學課程的教學水平，對于計算機相關專業學生后續課程的學習以及提高學生的抽象思維和邏輯推理能力都具有現實的意義。本文結合作者近年來從事離散數學課程教學的實際，從教學內容、教學方法、教學手段等方面進行了一些初步探討。
1 提高學生對《離散數學》的認識，調動學習積極性
學生在學習離散數學時，往往看不到它在計算機科學中的具體應用，認為該課程對計算機科學的作用不大，因而不重視離散數學的學習，學習興趣不高，學習效果不甚理想“興趣是最好的老師”，因此，在上第一堂課時，教師就應該給學生介紹離散數學的重要性，提高學生的學習興趣事實上，計算機學科的發展近年來與離散數學的主要內容如數理邏輯、抽象代數和圖論等有非常緊密的聯系 隨著計算機科學的快速發展，進行該學科相關的研究與開發的起點在不斷提高，無論學生今后從事理論研究，還是應用開發或者是技術管理工作，都應該具有堅實的理論基礎，才能適應學科迅速發展和知識更新的需要。當今計算機科學界的權威人士很多都是研究離散數學出身的。美國的軟件之所以能領先，其關鍵就在于在數學基礎上他們有很強的實力，有很多杰出的人才，而我國的信息技術的數學基礎十分薄弱，這個問題不解決，我們就難成為軟件強國 計算機領域最負盛名、最崇高的一個獎項是圖靈獎，具有“計算機界的諾貝爾獎”之稱。圖靈是一位英國的數學家的名字，他所創立的數學模型一一圖靈機（離散數學內容之一）。在可計算性理論中起著重要作用，為計算機的誕生奠定了堅實的理論基礎。為了紀念他對計算機科學所做的貢獻，國際上用他的名字來命名這個獎項。著名的計算機軟件大師狄克斯特（Dijkstra）曾經說過：“我現在年紀大了，搞了這么多年軟件，錯誤不知犯了多少，現在覺悟了。我想假如我早年在數理邏輯上好好下點功夫的話，我就不會犯這么多的錯誤。不少東西邏輯學家早就說了，可我不知道 要是我能年輕20歲。我要回去學邏輯 ”由此可見離散數學在計算機學科中的重要作用。
2 教學內容的優化
《離散數學》課程的教學內容一般包括四個部分：數理邏輯、集合論、代數系統、圖論。這四部分內容中每一個部分都可以是一門獨立的課程，它們分別作為《離散數學》課程的一部分，容易造成教學內容繁多與教學課時數偏少相矛盾，使教學過程具有很大的難度。如果這幾部分的內容都要詳細講授，時間上來不及。所以在在教學過程中對講授內容的設置上應當有所側重，比如學生對集合論基礎的很多內容在中學數學中已經有所了解，所以這部分內容只需要簡要介紹一下，重點放在用集臺論的方法解決實際應用問題上。對于二元關系這部分，側重點是加強對與二元關系的幾個性質相關問題的論證方法的訓練。在數理邏輯上通過將一般命題公式和一階邏輯公式化成范式，達到強化訓練學生邏輯演算能力，并通過邏輯推理理論的學習來提高邏輯推理能力。圖論部分重點放在基本概念的理解和實際問題的處理上，通過對相關定理及其證明思路的理解來體會圖論的研究方法。代數系統這部分內容重點放在群論上，尤其要在代數系統、群、子群、循環群、變換群、正規子群的概念及相關問題的理解上下功夫，特別要掌握同構和同態的概念及應用，對于其它的代數系統如環、域及布爾代數則可以略講。
另外，現行大多數教材，主要是集中在從純數學理論角度教授基本內容，這也是不利于學生的理解學習的。如果選擇了這種教材，在教學過程中，應穿插介紹一些知識點在計算機科學中的應用，將之與離散數學理論結合介紹給學生，使學生重視這一課程的學習，產生學習興趣，主動地進行學習。這將有利于學生理解理論知識，又為后續課程的學習奠定基礎。
3 教學方法實踐
3.1 注重理論的理解。推行研究型教學
離散數學中有很多定義、定理、規則，幾乎每一節課堂上少則十幾個多則幾十個新的術語或定理，很多學生由于習慣于背誦的方式來掌握概念，很容易產生枯燥甚至畏難情緒。在教學過程中，我們要注重對于問題的完整理解過程，而不是只告訴學生結論。因此，很多概念、定理都不用死記硬背，只需要理解，這樣才能掌握得更牢。
比如，在一階邏輯中有八個關于量詞作用域里的擴張與收縮公式，學生剛開始看到這些公式時，可能會覺得太難記了。那么就需要把證明的方法告訴他們，掌握公式的來龍去脈。其實只有以下兩個公式是相對特殊的，需要轉換量詞形式的：
�。ǎˋ x）A（x） →B）甘（3 x）（A（x）→B）
（（3 x）A（x） →xB）{ （A x）（A（x）→B）
這兩個公式可以在有限個體域中采用量詞消去法把其中一個公式證明給學生看，其它幾個公式要求學生課后采用類似的方法自己動手證明，既可以節省時間，又可以加深學生對公式的理解。
因此，需要把過去習慣的填鴨式教學轉換為研究型教學，通過對典型問題的描述分析和解決，鼓勵和引導學生實現研究為本的學習。對課程、對問題要多問幾個為什么，挖掘深層的東西，要有意識地去培養學生踏實的科學態度。
3.2 理論聯系實際
離散數學這門課內容比較難，而且相對枯燥，特別是該課程的結構較為松散，內容雜，學生難以接受。因此。在講解清楚各種基本概念、定理、定理證明、計算方法等基本內容之外，還應多舉一些具有代表性的例子，以加深學生對知識的理解，并能隨時介紹所學知識的應用背景和發展方向，使學生能感覺到這門課程的必要性，調動學生的積極性。例如在講授平面圖時，可以給出它們在印刷電路板、集成電路等方面的應用。
另外，如果講課時能結合一些輕松的故事，也可減輕學習的壓力。比如離散數學中哥尼斯堡七橋問題、著名的蘇哥拉底三段論、土耳其商人和帽子的故事、一筆畫問題、地圖染色問題等等。但對于這些問題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應當從故事人手，提出有思考性的問題，再促進和啟發學生思維的積極性，這樣就能達到較好的效果。
3.3 具體與抽象相結合。
離散數學中的許多概念都很抽象，如果直接給出定義，學生往往難以理解。如果能從實際的例子出發，再抽象出基本概念，使得學生對這些概念有更深刻的理解。
例如“二元關系”，可以舉一個家庭成員之間的關系的例子：假設某家庭有父母兄弟四位成員，在家庭成員這個集合上，常見的二元關系有父子關系、母子關系、兄弟關系、夫妻關系等，然后以數學符號的形式表示出來，最后再把二元關系的數學定義告訴學生。這樣學生對“二元關系”這個概念就有比較清楚的認識了。又如在講解“群”的概念時，可以先給出具體一個代數系統，如（Z，+），然后得出該代數系統滿足群的三個條件：結合律、存在幺元和每個元素有逆元，從而引出群的定義。
3.4 注重歸納與小結
離散數學的內容雖然多且散，但通過歸納，可以用一條主線貫穿始終，這就是離散數學討論的內容大多包含兩個方面：研究一個系統中涉及到的靜態（基本概念）與動態（運算、操作、推理）。如集合論中是元素（靜態）及其上的運算（動態）；代數系統中是集合（靜態）及運算（動態）；數理邏輯中是公式（靜態）和推理（動態）。通過歸納總結，學生能夠理清頭緒，提高學習效率。
在講課時，應該把重點、難點精講細講，對于易懂的內容可以點到為止。此外還要經常歸納小結，尤其對于一些抽象的和難以記憶的重要知識點，更應該輔以有針對性的歸納總結。比如在講完代數系統這部分內容時，可按照代數系統、半群、含幺半群、群的順序依次闡述這幾個概念，均是在前一個概念的基礎上增加一個性質（封閉性、結合性、幺元、逆元），最后用圖示的方式進行小結，使學生更容易掌握這幾個容易混淆的概念。
4 教學手段改革
4.1 建設網絡課件。注重教學的互動性
隨著計算機技術的發展與普及，在教學過程中引入網絡課件已逐漸成為一種時尚。離散數學有很多定義、定理、性質等都是比較抽象的內容，如果在教學的過程中，就概念講概念，就結論講結論，學生將難予接受。如果能利用網絡課件信息量大、生動有趣的特點，將概念、理論提出的背景以及在計算機技術中的應用介紹給學生，勢必會加深學生對概念、理論的理解，激發學生進一步學習的積極性。在離散數學網絡課件中，可以集成電子講稿、作業、答疑、討論、考試、試題庫、網絡資源、學習跟蹤分析、管理等，極大地改變離散數學教學中存在的問題，為學生提供了豐富多彩的網上教學資源�？梢栽谡n堂教學的引導下，充分利用網絡課件的特點讓師生參與討論，調動學生的主動性，引導學生發現問題和分析問題，讓他們能夠自由地、充分地、廣泛地進行討論，從而達到解決問題的目的。
網絡課件的電子講稿是教師上課和學生學習的主要資源，因此網絡課件的建設一定要注重電子講稿的質量。電子講稿要盡量使用具體形象的媒體展示給同學。使其能從中體驗形象與抽象的關系。在制作幻燈片畫面時。要注意目標明確，使常規教學中要求的基本技能、重要的思想方法、運算能力和分析問題解決問題的能力盡量反映在課件中，各個幻燈片的連接注意銜接合理、自然。利用人工控制時間，使其變化有序，避免給學生產生黑板搬家的感覺。
當然，筆者認為離散數學網絡課件并不能完全取代傳統的教學方式。僅僅是利用計算機進行輔助教學，它還不能完全代替“黑板、粉筆”方式的教學。教師完全可以根據教學內容的需要，在教學過程中靈活、適當地應用黑板與粉筆，以起到其特有的點睛效果。例如對一些邏輯性較強，難以理解的需要推理、證明的教學內容，應該使用傳統的授課方式進行教學。只有采用傳統的教學方式與現代多媒體教學方式相結合的辦法，才能實現教學過程的最優化。
4.2 重視學生作業，定時測驗
大學擴招以后，很多教師課時量都比較飽滿，批閱作業的時間相對較少，有些教師甚至因此不布置作業或不批閱作業，這樣顯然是不利于學生的學習。離散數學的知識不經過學生的獨立思考和多做練習是無法牢固掌握的，因此一定要給學生留一定數量的課后習題。但大部分學生不可能把課本上的習題全部做完，教師也不可能完全批閱。這就要求教師布置作業要選其精華，選題必須要有一定的深度和廣度，要覆蓋所學的內容，盡量選有啟發性質的習題。對于學生的作業，要認真仔細批改，將作業中暴露出來的普遍問題，要進行課堂講評。通過講評作業，幫助學生澄清模糊和錯誤的認識。
另外，為了更好地了解學生的學習情況，克服學生的學習惰性，除了布置作業外，可以在講完每一部分內容之后進行課堂測驗，給學生施加一定的學習壓力，把測驗成績作為平時成績的一部分，讓學生能及時地對學過的內容進行歸納、總結。由于時間關系，測驗時所選的習題數量不宜過多，盡量做到少而精，具備綜合性、典型性等特點。其次，要難度適中。例如在數理邏輯部分的測驗中，可分別從命題符號化、公式類型判斷、主析取范式、前束范式、邏輯推理等方面進行選題，共五道題左右，其中重點突出符號化與推理理論，力求以點帶面，考察學生對所學知識的理解程度
4.3 考試改革
筆者認為離散數學教學改革的一個重要環節是考試方法改革，實行教考分離。學生的考核成績由平時成績和考試成績按一定比例組成，任課教師掌握平時成績的評定，考試則實行教考分離，任課教師事先不知道考試題目，但可以與命題教師一起討論命題范圍、難度及題型。實行教考分離能進一步激發教師的教學熱情和學生學習的主動性，對調動教與學的積極性是有促進作用的，同時也提高了考核的科學性。
5 結束語
總之，要把離散數學這一門課教好，教師就要不斷研究新的教學方法，認真掌握教學規律，借助于現代化教學手段，摒棄“填鴨式”教學，提倡“啟發”式教學。教師只要具有扎實的理論功底，并具有對學生高度負責的精神，就一定能夠找到較好的方法調動學生的學習積極性，從而達到良好的教學效果。
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