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      1. -初三期中考試卷數學

        時間:2024-08-19 00:41:19 初中知識 我要投稿
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        2016-2017初三期中考試卷數學

          書山有路勤為徑,學海無涯苦作舟。下面是小編整理的2016-2017初三期中考試卷數學篇,歡迎大家試做。

        2016-2017初三期中考試卷數學

          一、選擇題(每題3分,共18分)

          1.一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4,那么二次三項式x2+px+q可分解為(  )

          A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)

          2.如果x:(x+y)=3:5,那么x:y=(  )

          A. B. C. D.

          3.△ABC中,tanA=1,cosB= ,則△ABC的形狀是(  )

          A. 等腰三角形 B. 直角三角形

          C. 等腰直角三角形 D. 銳角三角形

          4.小剛身高1.7m,測得他站立在陽光下的影長為0.85m,緊接著他把手臂豎直舉起,測得影長為1.1m,那么小剛舉起手臂超出頭頂(  )

          A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m

          5.某機械廠七月份生產零件50萬個,第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是(  )

          A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196

          C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196

          6.如圖,邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起,連結BD并延長交EG于點T,交FG于點P,則GT=(  )

          A. B. 2 C. 2 D. 1

          二、填空題(每題3分,共30分)

          7.一公園占地面積約為800000m2,若按比例尺1:2000縮小后,其面積約為      m2.

          8.設a,b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根,則a2+2a+b的值為      .

          9.若最簡二次根式 與 是同類二次根式,則x=      .

          10.已知:如圖,E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以O為位似中心,按比例尺1:2,把△EFO縮小,則點E的對應點E′的坐標為      .

          11.關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根,則實數a的范圍為      .

          12.無論x取任何實數,代數式 都有意義,則m的取值范圍為      .

          13.如圖,兩條寬度都為1的紙條,交叉重疊放在一起,且它們的交角為α,則它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為      .

          14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= ,則tan =      .

          15.在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P(點P與點A,C不重合),過點P作直線截得的三角形與△ABC相似,滿足條件的直線最多有      條.

          16.如圖,點P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點,過點P作y軸的平行線,分別與直線y= x,直線y=﹣x交于A,B兩點,以AB為邊向右側作正方形ABCD.有下列五個結論:

          ①∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2AP•PB;④S△AOB=3S△AOP;⑤當t=2時,正方形ABCD的周長是16.

          其中正確結論的序號是      .

          三、解答題(共102分)

          17.解方程

          (1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)

          (2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)

          18.計算下列各題:

          (1) sin6 0°﹣tan30°•cos60°;

          (2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.

          19.先化簡,再求值: ,其中a滿足方程a2+4a+1=0.

          20.如圖,路燈(P點)距地面8米,身高1.6米的小明從距路燈的底部(O點)20米的A點,沿OA所在的直線行走14米到B點時,身影的長度是變長了還是變短了?變長或變短了多少米?

          21.某 工廠現有80臺機器,每臺機器平均每天生產384件產品,現準備增加一批同類機器以提高生產總量,在試生產中發現,由于其它生產條件沒變,因此每增加一臺機器,每臺機器平均每天將少生產4件產品 .問應增加多少臺機器,才可以使每天的生產總量達到30976件?

          22.如圖,大樓AB的高為16m,遠處有一塔CD,小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°,在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°,其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方,且A、C兩點在同一水平線上,求塔CD的高.

          23.已知關于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.

          (1)求證:無論k取什么實數值,這個方程總有實數根;

          (2)能否找到一個實數k,使方程的兩實數根互為相反數?若能找到,求出k的值;若不能,請說明理由.

          (3)當等腰三角形ABC的邊長a=4,另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時,求△ABC的周長.

          24.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,對角線AC與BD相交于點O,線段OA,OB的中點分別為E,F.

          (1)求證:△FOE≌△DOC;

          (2)求sin∠OEF的值;

          (3)若直線EF與線段AD,BC分別相交于點G,H,求 的值.

          25.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發,均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動,同時動點P從點B出發,以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設移動時間為t(單位:秒,0

          (1)當t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?

          (2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

          26.如圖,在正方形ABCD中,E為BC上一點,且BE=2CE;F為AB上一動點,BF=nAF,連接DF,AE交于點P.

          (1)若n=1,則 =      , =      ;

          (2)若n=2,求證:8AP=3PE;

          (3)當n=      時,AE⊥DF(直接填出結果,不要求證明).

          2014-2015學年江蘇省泰州市靖江市靖城中學共同體九年級(上)期中數學試卷

          參考答案與試題解析

          一、選擇題(每題3分,共18分)

          1.一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4,那么二次三項式x2+px+q可分解為(  )

          A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)

          考點: 解一元二次方程-因式分解法.

          專題: 壓軸題.

          分析: 只有把等號左邊的二次三項式分解為(x﹣x1)(x﹣x2),它的根才可能是x1,x2.

          解答: 解:若一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4,

          那么倒數第二步為:(x﹣3)(x﹣4)=0,

          ∴x2+px+q=(x﹣3)(x﹣4),故選C.

          點評: 用到的知識點為:若一元二次方程的兩根為x1,x2,那么一元二次方程可整理為(x﹣x1)(x﹣x2)=0.

          2.如果x:(x+y)=3:5,那么x:y=(  )

          A. B. C. D.

          考點: 比例的性質.

          分析: 首先根據x:(x+y)=3:5可得5x=3x+3y,整理可得2x=3y,進而得到x:y=3:2.

          解答: 解:∵x:(x+y)=3:5,

          ∴5x=3x+3y,

          2x=3y,

          ∴x:y=3:2= ,

          故選:D.

          點評: 此題主要考查了比例的性質,關鍵是掌握內項之積等于外項之積.

          3.△ABC中,tanA=1,cosB= ,則△ABC的形狀是(  )

          A. 等腰三角形 B. 直角三角形

          C. 等腰直角三角形 D. 銳角三角形

          考點: 特殊角的三角函數值.

          分析: 先根據△ABC中,tanA=1,cosB= 求出∠A及∠B的度數,進而可得出結論.

          解答: 解:∵△ABC中,tanA=1,cosB= ,

          ∴∠A=90°,∠B=45°,

          ∴△ABC是等腰直角三角形.

          故選C.

          點評: 本題考查的是特殊角的三角函數值,熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵.

          4.小剛身高1.7m,測得他站立在陽光下的影長為0.85m,緊接著他把手臂豎直舉起,測得影長為1.1m,那么小剛舉起手臂超出頭頂(  )

          A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 m

          考點: 相似三角形的應用.

          分析: 根據在同一時物體的高度和影長成正比,設出手臂豎直舉起時總高度x,即可列方程解出x的值,再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂的高度.

          解答: 解:設手臂豎直舉起時總高度xm,列方程得:

          = ,

          解得x=2.2,

          2.2﹣1.7=0.5m,

          所以小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為0.5m.

          故選:A.

          點評: 本題考查了相似三角形的應用,解答此題的關鍵是明確在同一時刻物體的高度和影長成正比.

          5.某機械廠七月份生產零件50萬個,第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是(  )

          A. 50(1+x2)=196 B. 50+50(1+x2)=196

          C. 50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D. 50+50(1+x)+50(1+2x)=196

          考點: 由實際問題抽象出一元二次方程.

          專題: 增長率問題.

          分析: 主要考查增長率問題,一般增長后的量=增長前的量×(1+增長率),如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x,那么可以用x分別表示八、九月份的產量,然后根據題意可得出方程.

          解答: 解:依題意得八、九月份的產量為50(1+x)、50(1+x)2,

          ∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

          故選C.

          點評: 本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,增長率問題,一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時間的有關數量,b為終止時間的有關數量.

          6.如圖,邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起,連結BD并延長交EG于點T,交FG于點P,則GT=(  )

          A. B. 2 C. 2 D. 1

          考點: 正方形的性質.

          專題: 壓軸題.

          分析: 根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=∠CGE=45°,再求出∠GDT=45°,從而得到△DGT是等腰直角三角形,根據正方形的邊長求出DG,再根據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的 倍求解即可.

          解答: 解:∵BD、GE分別是正方形ABCD,正方形CEFG的對角線,

          ∴∠ADB=∠CGE=45°,

          ∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°,

          ∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°,

          ∴△DGT是等腰直角三角形,

          ∵兩正方形的邊長分別為4,8,

          ∴DG=8﹣4=4,

          ∴GT= ×4=2 .

          故選B.

          點評: 本題考查了正方形的性質,主要利用了正方形的對角線平分一組對角,等腰直角三角形的判定與性質.

          二、填空題(每題3分,共30分)

          7.一公園占地面積約為800000m2,若按比例尺1:2000縮小后,其面積約為 0.2 m2.

          考點: 比例線段.

          專題: 應用題.

          分析: 根據相似多邊形面積的比是相似比的平方,列比例式求得圖上面積.

          解答: 解:設其縮小后的面積為xm2,

          則x:800000=(1:200 0)2,

          解得x=0.2m2.

          ∴其面積約為0.2m2.

          點評: 注意相似多邊形的面積的比是相似比的平方.

          8.設a,b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根,則a2+2a+b的值為 2008 .

          考點: 根與系數的關系;一元二次方程的解.

          分析: 根據根與系數的關系,可先求出a+b的值,然后代入所求代數式,又因為a是方程x2+x﹣2009=0的根,把a代入方程可求出a2+a的值,再代入所求代數式可求值.

          解答: 解:根據題意得a+b=﹣1,ab=﹣2009,

          ∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1,

          又∵a是x2+x﹣2009=0的根,

          ∴a2+a﹣2009=0,

          ∴a2+a=2009,

          ∴a2+2a+b=2009﹣1=2008.

          點評: 根據根與系數的關系、以及方程根的定義可求此題.

          9.若最簡二次根式 與 是同類二次根式,則x= 5 .

          考點: 同類二次根式.

          專題: 計算題.

          分析: 根據同類二次根式的被開方數相同可得出關于x的方程,解出即可.

          解答: 解:由題意得:x2﹣4x=10﹣x,

          解得:x=5或x=﹣2,

          當x=﹣2是不滿足為最簡二次根式,故舍去.

          故答案為:5.

          點評: 本題考查同類二次根式的知識,難度不大,注意求出x之后檢驗是否滿足題意.

          10.( 3分)(2011•白下區二模)已知:如圖,E(﹣4,2),F(﹣1,﹣1),以O為位似中心,按比例尺1:2,把△EFO縮小,則點E的對應點E′的坐標為 (﹣2,1)或(2,﹣1) .

          考點: 位似變換.

          分析: E(﹣4,2)以O為位似中心,按比例尺1:2,把△EFO縮小,則點E的對應點E′的坐標是E(﹣4,2)的坐標同時乘以 或﹣ ,因而得到的點E′的坐標為(﹣2,1)或(2,﹣1).

          解答: 解:根據題意可知,點E的對應點E′的坐標是E(﹣4,2)的坐標同時乘以 或﹣ ,

          所以點E′的坐標為(﹣2,1)或(2,﹣1).

          點評: 關于原點成位似的兩個圖形,若位似比是k,則原圖形上的點(x,y),經過位似變化得到的對應點的坐標是(kx,ky)或(﹣kx,﹣ky).是需要記憶的內容.

          11.關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根,則實數a的范圍為 a≤ 且a≠6 .

          考點: 根的判別式;一元二次方程的定義.

          分析: 根據一元二次方程的定義及根的判別式的意義,得出a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0,求出不等式組的解集即可得到實數a的范圍.

          解答: 解:∵關于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有實根,

          ∴a﹣6≠0且△=64﹣36(a﹣6)≥0,

          解得a≤ 且a≠6.

          故答案為:a≤ 且a≠6.

          點評: 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系:

          (1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;

          (2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;

          (3)△<0⇔方程沒有實數根.

          同時考查了一元二次方程的定義.

          12. 無論x取任何實數,代數式 都有意義,則m的取值范圍為 m≥9 .

          考點: 二次根式有意義的條件;非負數的性質:偶次方;配方法的應用.

          專題: 壓軸題.

          分析: 二次根式的被開方數是非負數,即x2﹣6x+m=(x﹣3)2﹣9+m≥0,所以(x﹣3)2≥9﹣m.通過偶次方(x﹣3)2是非負數可求得9﹣m≤0,則易求m的取值范圍.

          解答: 解:由題意,得

          x2﹣6x+m≥0,即(x﹣3)2﹣9+m≥0,

          ∵(x﹣3)2≥0,要使得(x﹣3)2﹣9+ m恒大于等于0,

          ∴m﹣9≥0,

          ∴m≥9,

          故答案為:m≥9.

          點評: 考查了二次根式的意義和性質.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性質:二次根式中的被開方數必須是非負數,否則二次根式無意義.

          13.如圖,兩條寬度都為1的紙條,交叉重疊放在一起,且它們的交角為α,則它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為   .

          考點: 解直角三角形;特殊角的三角函數值.

          分析: 重疊部分為菱形,運用三角函數定義先求邊長AB,再求出面積.

          解答: 解:∵AC= ,

          ∴它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為:

          ×1= .

          故答案為: .

          點評: 本題問題中,巧妙的運用三角函數求邊長是解題的關鍵.

          14.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= ,則tan =   .

          考點: 特殊角的三角函數值.

          分析: 先根據題意畫出圖形,由特殊角的三角函數值求出∠A的度數,再求則tan 的值即可.

          解答: 解:如圖所示,AB=2,BC= ,

          ∴sinA= = ,

          ∴∠A=60°.

          ∴tan =tan30°= .

          點評: 此題比較簡單,解答此題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值,根據數形結合解答.

          15.在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P(點P與點A,C不重合),過點P作直線截得的三角形與△ABC相似,滿足條件的直線最多有 4 條.

          考點: 相似三角形的判定.

          分析: 過點P作直線與另一邊相交,使所得的三角形與原三角形已經有一個公共角,只要再作一個等于△ABC的另一個角即可.

          解答: 解:①過點P作AB的垂線段PD,則△ADP∽△ACB;

          ②過點P作BC的平行線PE,交AB于E,則△APE∽△ACB;

         、圻^點P作AB的平行線PF,交BC于F,則△PCF∽△ACB;

         、茏∠PGC=∠A,則△GCP∽△ACB.

          故答案為:4.

          點評: 本題主要考查相似三角形的判定,用到的知識點:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似;有兩個角對應相等的兩個三角形相似.

          16.如圖,點P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點,過點P作y軸的平行線,分別與直線y= x,直線y=﹣x交于A,B兩點,以AB為邊向右側作正方形ABCD.有下列五個結論:

         、∠AOB=90°;②△AOB是等腰三角形;③OP2=2AP•PB;④S△AOB=3S△AOP;⑤當t=2時,正方形ABCD的周長是16.

          其中正確結論的序號是、邰堋.

          考點: 一次函數綜合題.

          分析: ①由兩條垂直直線的斜率的積等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故選項錯誤;

         、诟鶕妊切蔚呐卸ǘɡ砑纯膳卸á凇鰽OB是等腰三角形,故選項錯誤;

         、塾芍本的斜率可知 = , =1,根據2( )= ,即可求得OP2=2AP•PB,故選項正確;

         、茉OA(m, m),則B(m,﹣m),得出△AOP的面積= OP• m= m•OP,△BOP的面積= OP•m= •OP,從而求得S△BOP=2S△AOP,進而得出S△AOB=3S△AOP,故選項正確;

          ⑤t=2時根據直線的解析式先求得PA=1、PB=2,進而求得AB=3,所以正方形的周長=12,故選項錯誤;

          解答: 解:①由直線y= x,直線y=﹣x可知,它們的斜率的積=﹣ ≠﹣1,所以∠AOB≠90°,故∠AOB=90°錯誤;

          ②∵AB⊥x軸,∠AOP≠∠BOP,∠AOB≠90°

          ∴OA≠OB,OB≠AB,OA≠AB,

          ∴△AOB不是等腰三角形,故△AOB是等腰三角形;

         、塾芍本的斜率可知: = , =1,

          ∴2( )= ,

          ∴OP2=2AP•PB,故OP2=2AP•PB正確;

         、茉OA(m, m),則B(m,﹣m),

          ∵△AOP的面積= OP• m= m•OP,△BOP的面積= OP•m= •OP,

          ∴S△BOP=2S△AOP,

          ∴S△AOB=3S△AOP,

          故S△AOB=3S△AOP正確;

         、輙=2時,PA= ×2=1,

          PB=|﹣1×2|=2,

          ∴AB=PA+PB=1+2=3,

          ∴正方形ABCD的周長=4AB=4×3=12;故當t=2時,正方形ABCD的周長是16錯誤;

          故答案為③④.

          點評: 本題考查了 直線斜率的特點,等腰三角形的判定,直角三角函數的意義,三角形的面積的求法,正方形的周長等,③OP2=2AP•PB的求得是本題的難點.

          三、解答題(共102分)

          17.解方程

          (1)x2﹣6x﹣18=0(配方法)

          (2)3x2+5(2x+1)=0(公式法)

          考點: 解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.

          分析: (1)先移項,再在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方,將方程左邊配成完全平方式,最后根據直接開平方解可以求解了.

          (2)將原方程轉化為一般形式,再求出a、b、c的值,最后代入求根求解就可以了.

          解答: 解:(1)移項,得

          x2﹣6x=18,

          在方程兩邊同時加上9,得

          x2﹣6x+9=18+9,

          左邊配方,得

          (x﹣3)2=27,

          解得x﹣3= ,

          ∴x1=3 +3,x2=﹣3 +3

          (2)原方程變形為:

          3x2+10x+5=0

          ∴a=3,b=10,c=5,

          ∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40>0,

          ∴x= ,

          ∴x1= ,x2= .

          點評: 本題是一道一元二次方程的解答題,考查了用配方法解一元二次方程,用公式法解一元二次方程的方法.

          18.計算下列各題:

          (1) sin60°﹣tan30°•cos60°;

          (2)|﹣ |+2﹣1+ (π﹣ )0﹣tan60°.

          考點: 實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

          分析: (1)將特殊角的三角函數值代入求解;

          (2)分別進行絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等運算,然后合并.

          解答: 解:(1)原式= ﹣ ×

          = ﹣ ;

          (2)原式= + + ﹣

          =1.

          點評: 本題考查了實數的運算,涉及了絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等知識,屬于基礎題.

          19.先化簡,再求值: ,其中a滿足方程a2+4a+1=0.

          考點: 分式的化簡求值.

          專題: 計算題.

          分析: 把原式括號里的第二項提取﹣1,然后把原式的各項分子分母都分解因式,找出括號里兩項分母的最簡公分母,利用分式的基本性質對括號里兩項進行通分,然后利用同分母分式的減法運算法則:分母不變,只把分子相減,計算出結果,然后利用分式的除法法則:除以一個數等于乘以這個數的倒數,變形為乘法運算,約分后即可把原式化為最簡分式,把a滿足的方程變形后,代入原式化簡后的式子中即可求出值.

          解答: 解:原式=

          =

          =

          = = ,(6分)

          ∵a2+4a+1=0,∴a2+4a=﹣1,

          ∴原式= .(10分)

          點評: 此題考查了分式的混合運算,以及多項式的運算.分式的化簡求值題,應先對原式的分子分母分解因式,在分式的化簡運算中,要通觀全局,弄清有哪些運算,然后觀察能否用法則,定律,分解因式及公式來簡化運算,同時注意運算的結果要化到最簡,然后再代值計算.

          20.如圖,路燈(P點)距地面8米,身高1.6米的小明從距路燈的底部(O點)20米的A點,沿OA所在的直線行走14米到B點時,身影的長度是變長了還是變短了?變長或變短了多少米?

          考點: 相似三角形的應用.

          專題: 應用題.

          分析: 如圖,由于AC∥BD∥OP,故有△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質求解.

          解答: 解:∵∠MAC=∠MOP=90°,

          ∠AMC=∠OMP,

          ∴△MAC∽△MOP.

          ∴ ,

          即 ,

          解得,MA=5米;

          同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,

          ∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米.

          點評: 解題時關鍵是找出相似的三角形,然后根據對應邊成比例列出方程,建立適當的數學模型來解答問題.

          21.某工廠現有80臺機器,每臺機器平均每天生產384件產品,現準備增加一批同類機器以提高生產總量,在試生產中發現,由于其它生產條件沒變,因此每增加一臺機器,每臺機器平均每天將少生產4件產品.問應增加多少臺機器,才可以使每天的生產總量達到30976件?

          考點: 一元二次方程的應用.

          分析: 設至少增加x臺機器,可以使每天的生產總量達到30976頂,由于現有80臺機器,每臺機器平均每天生產384件產品,現準備增加一批 同類機器以提高生產總量,在生產過程中,由于其他生產條件沒變,因此每增加1臺機器,平均每臺每天將少生產4件產品,由此即可列出方程解決問題.

          解答: 解:設增加x臺機器,

          依題意得(80+x)(384﹣4x)=30976,

          解得x1=x2=8.

          答:應增加8臺機器,才可以使每天的生產總量達到30976件.

          點評: 考查了一元二次方程的應用,此題和實際生活結合比較緊密,首先把握現有80臺機器,每臺機器平均每天生產384件產品,然后把握增加1臺機器,平均每臺每天將少生產4件產品就可以列出方程就問題.

          22.如圖,大樓AB的高為16m,遠處有一塔CD,小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°,在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°,其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方,且A、C兩點在同一水平線上,求塔CD的高.

          考點: 解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

          專題: 應用題.

          分析: 首先分析圖形,根據題意構造直角三角形.本題涉及兩個直角三角形,即Rt△BED和Rt△DAC,利用已知角的正切分別計算,可得到一個關于AC的方程,從而求出DC.

          解答: 解:作BE⊥CD于E.

          可得Rt△BED和矩形ACEB.

          則有CE=AB=16,AC=BE.

          在Rt△BED中,∠DBE=45°,DE=BE=AC.

          在Rt△DAC中,∠DAC=60°,DC=ACtan60°= AC.

          ∵16+DE=DC,

          ∴16+AC= AC,

          解得:AC=8 +8=DE.

          所以塔CD的高度為(8 +24)米.

          點評: 本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形,并結合圖形利用三角函數解直角三角形.

          23.已知關于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣ )=0.

          (1)求證:無論k取什么實數值,這個方程總有實數根;

          (2)能否找到一個實數k,使方程的兩實數根互為相反數?若能找到,求出k的值;若不能,請說明理由.

          (3)當等腰三角形ABC的邊長a=4,另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時,求△ABC的周長.

          考點: 根與系數的關系;解一元二次方程-因式分解法;根的判別式;三角形三邊關系;等腰三角形的性質.

          專題: 壓軸題;分類討論.

          分析: (1)整理根的判別式,得到它是非負數即可.

          (2)兩實數根互為相反數,讓﹣ =0即可求得k的值.

          (3)分b=c,b=a兩種情況做.

          解答: 證明:(1)∵△=(2k+1)2﹣16(k﹣ )=(2k﹣3)2≥0,

          ∴方程總有實根;

          解:(2)∵兩實數根互為相反數,

          ∴x1+x2=2k+1=0,

          解得k=﹣0.5;

          (3)①當b=c時,則△=0,

          即(2k﹣3)2=0,

          ∴k= ,

          方程可化為x2﹣4x+4=0,

          ∴x1=x2=2,

          而b=c=2,

          ∴b+c=4=a不適合題意舍去;

         、诋攂=a=4,則42﹣4(2k+1)+4(k﹣ )=0,

          ∴k= ,

          方程化為x2﹣6x+8=0,

          解得x1=4,x2=2,

          ∴c=2,

          C△ABC=10,

          當c=a=4時,同理得b=2,

          ∴C△ABC=10,

          綜上所述,△ABC的周長為10.

          點評: 一元二次方程總有實數根應根據判別式來做,兩根互為相反數應根據根與系數的關系做,等腰三角形的周長應注意兩種情況,以及兩種情況的取舍.

          24.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,對角線AC與BD相交于點O,線段OA,OB的中點分別為E,F.

          (1)求證:△FOE≌△DOC;

          (2)求sin∠OEF的值;

          (3)若直線EF與線段AD,BC分別相交于點G,H,求 的值.

          考點: 相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;勾股定理;三角形中位線定理;直角梯形;銳角三角函數的定義.

          專題: 幾何綜合題.

          分析: (1)由EF是△OAB的中位線,利用中位線定理,得EF∥AB,EF= AB,又CD∥AB,CD= AB,可得EF=CD,由平行線的性質可證△FOE≌△DOC;

          (2)由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB= ,由勾股定理得出AC與BC的關系,再求正弦值;

          (3)由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,則△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同理得FH= CD,又AB=2CD,代入 中求值.

          解答: (1)證明:∵EF是△OAB的中位線,

          ∴EF∥AB,EF= AB,

          而CD∥AB,CD= AB,

          ∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,

          ∴△FOE≌△DOC;

          (2)解:∵EF∥AB,

          ∴∠OEF=∠CAB,

          ∵在Rt△ABC中,AC= = = BC,

          ∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ;

          (3)解:∵AE=OE=OC,EF∥CD,

          ∴△AEG∽△ACD,

          ∴ = = ,即EG= CD,

          同理FH= CD,

          ∴ = = .

          點評: 本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質,勾股定理,中位線定理,銳角三角函數定義的運用.關鍵是由全等、相似得出相關線段之間的位置關系,數量關系.

          25.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發,均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動,同時動點P從點B出發,以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設移動時間為t(單位:秒,0

          (1)當t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?

          (2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

          考點: 相似形綜合題.

          專題: 壓軸題.

          分析: 根據勾股定理求得AB=5cm.

          (1)分類討論:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值;

          (2)如圖,過點P作PH⊥BC于點H,構造平行線PH∥AC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關系式S= (t﹣ )2+ (0

          解答: 解:∵如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.

          ∴根據勾股定理,得 =5cm.

          (1)以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況:

         、佼敗鰽MP∽△ABC時, = ,即 = ,

          解得t= ;

         、诋敗鰽PM∽△ABC時, = ,即 = ,

          解得t=0(不合題意,舍去);

          綜上所述,當t= 時,以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似;

          (2)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

          假設存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.

          如圖,過點P作PH⊥BC于點H.則PH∥AC,

          ∴ = ,即 = ,

          ∴PH= t,

          ∴S=S△ABC﹣S△BPN,

          = ×3×4﹣ ×(3﹣t)• t,

          = (t﹣ )2+ (0

          ∵ >0,

          ∴S有最小值.

          當t= 時,S最小值= .

          答:當t= 時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是 .

          點評: 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例,二次函數最值的求法以及三角形面積公式.解答(1)題時,一定要分類討論,以防漏解.另外,利用相似三角形的對應邊成比例解題時,務必找準對應邊.

          26 .如圖,在正方形ABCD中,E為BC上一點,且BE=2CE;F為AB上一動點,BF=nAF,連接DF,AE交于點P.

          (1)若n=1,則 =   , =   ;

          (2)若n=2,求證:8AP=3PE;

          (3)當n=   時,AE⊥DF(直接填出結果,不要求證明).

          考點: 正方形的性質;相似三角形的判定與性質.

          專題: 動點型.

          分析: (1)可通過構建相似三角形,根據相似三角形的對應邊成比例來求解.

          (2)同(1)解法.

          (3)根據已知及相似三角形的性質進行求解.

          解答: 解:(1)延長AE交DC的延長線于H,

          ∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴AB∥DH,

          ∴∠H=∠BAH,∠B=∠BCH,

          ∴△BEA∽△CEH,

          ∴ ,

          設EC=m,則AB=BC=CD=3m,BE=2m,CH=1.5m,

          同理:△AFP∽△DPH,

          ∴FP:PD=AP:PH=AF:DH=1.5m:4.5m=1:3,

          設AP=n,PH=3n,AH=4n,AE:EH=2:1,EH= n,

          ∴PE= n,

          ∴AP:PE=3:5,

          ∴ = , = ;

          (2)證明:如圖,延長AE交DC的延長線于H,

          ∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴AB∥DH,

          ∴∠H=∠BAH,∠B=∠BCH,

          ∴△BEA∽△CEH,

          ∴ ,

          設EC=2a,BE=4a,則AB=BC=CD=6a,CH=3a,AF=2a,

          同理:△AFP∽△HD P, ,

          設AP=2k,PH=9k,

          ∴AH=11k,

          ∴EH= ,

          ∴PE= ,

          ∴ = ,

          ∴8AP=3PE;

          (3)當AE⊥DF時,tan∠BAE=PF:AP=BE:AB=2:3,

          ∵△AFP∽△AFD,

          ∴FP:AP=AF:AD=2:3,

          ∴AF= AD= AB,BF= AB,

          ∴BF= AF,

          ∴n= .

          點評: 本題主要考查了正方形的性質,相似三角形的判定和性質等知識點,通過構建相似三角形得出相關線段間的比例關系是求解的關鍵。

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