中考數學幾何折疊問題的答題技巧

中考數學幾何折疊問題的答題技巧

　　折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學生空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關性質的說理計算題，發展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題. 考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.

　　折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中折是過程，疊是結果. 折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，折疊更突出了軸對稱問題的應用. 所以在解決有關的折疊問題時可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質.

　　根據軸對稱的性質可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸;互相重合兩點(對稱點)之間的連線必被折痕垂直平分;對稱兩點與對稱軸上任意一點連結所得的兩條線段相等;對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等. 在解題過程中要充分運用以上結論，借助輔助線構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數等知識來解決有關折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔.

　　1、利用點的對稱

　　例1.(2006年南京市)已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合.

　　(1)如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G(如圖①)，AF=

　　，求DE的長;

　　(2)如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G(如圖②)，△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長.

　　圖①中FG是折痕，點A與點E重合，根據折疊的對稱性,已知線段AF的長,可得到線段EF的長，從而將求線段的長轉化到求Rt△DEF的一條直角邊DE. 圖②中，連結對應點A、E，則折痕FG垂直平分AE，取AD的中點M，連結MO，則MO=

　　DE，且MO∥CD，又AE為Rt△AED的外接圓的直徑，則O為圓心，延長MO交BC于N，則ONBC，MN=AB,又Rt△AED的外接圓與直線BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圓的半徑，即ON=

　　AE，根據勾股定理可求出DE=

　　，OE=

　　. 通過Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=

　　，從而求出EF的長.

　　對稱點的連線被對稱軸垂直平分，連結兩對稱點既可以得到相等的線段，也可以構造直角三角形, 本題把折疊問題轉化為軸對稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉化到直角三角形中去處理.

　　二、利用線段的對稱性質

　　例2.(新課標人教版數學八年級下學期P126)數學活動1：折紙做300、600、150的角

　　對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再次折疊紙片，使A點落在折痕EF上的N點處，并使折痕經過點B得到折痕BM，同時得到線段BN，觀察所得到的ABM、MBN和NBC，這三個角有什么關系?(教師用書中給出了這樣的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，則直角三角形中NG=

　　BN，從而可得ABM=MBN=NBC=300.)

　　若這樣證明則要用到：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于300. 這個定理現行教材中沒有涉及到，在這兒用不太合適. 如果直接運用軸對稱思想說理應該比較簡潔明了：連結AN，則AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN為等邊三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.

　　利用對稱的思想來證明線段的相等比用其他方法快捷而且靈活.

　　三、利用面對稱的性質

　　例3.(2006年臨安)如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點A落在OB上，記為A`點，折痕為EF. 此題中第③問是：當A`點在OB上運動，但不與O、B重合時，能否使△A`EF為直角三角形?

　　這一問題需通過分類討論，先確定直角頂點不可能在A`處. 當△A`EF為直角三角形，且直角頂點在F處時，根據軸對稱性質我們可以得到AFE=A`FE=900，此時A`點與B點重合，與題目中已知相矛盾，所以直角頂點在點F處不成立. 同理可證，直角頂點亦不可能在點E處. 故當A`點在OB上運動，若不與O、B重合，則不存在這樣的A`點使△A`EF為直角三角形.

　　在折疊問題中,利用面的對稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積.

　　解決折疊問題時，首先要對圖形折疊有一準確定位，把握折疊的實質，抓住圖形之間最本質的位置關系，從點、線、面三個方面入手，發現其中變化的和不變的量. 進一步發現圖形中的數量關系;其次要把握折疊的變化規律，充分挖掘圖形的幾何性質，將其中的基本的數量關系用方程的形式表達出來，運用所學知識合理、有序、全面的解決問題.

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