教你輕松求解考研數(shù)學(xué)數(shù)列極限
【摘要】極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容，所占比重相當(dāng)大，在此整理求數(shù)列極限的方法，僅供大家參考。
極限在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。
一、極限無外乎出這三個題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵,極限的運算法則必須遵從,兩個極限都存在才可以進行極限的運算,如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內(nèi)容簡單總結(jié)下。
二、極限的計算常用方法：四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。
四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進入強化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達到熟練的程度;在強化復(fù)習(xí)階段考生會遇到一些較為復(fù)雜的極限計算，此時運用泰勒公式代替洛必達法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進行計算，如果最大的`分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進行計算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。
三、與極限計算相關(guān)知識點包括：
1、連續(xù)、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點處的左右極限；
2、可導(dǎo)和可微，分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過導(dǎo)數(shù)定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在；
3、漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；
4、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計算難度較大，�？疾樽C明極限不存在。
下面我們重點講一下數(shù)列極限的典型方法。
求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。
抽象數(shù)列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn),因此可以通過舉反例來排除。此外,也可以按照定義、基本性質(zhì)及運算法則直接驗證。
求具體數(shù)列的極限,可以參考以下幾種方法：
1、利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限。首先,用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性,進而確定極限存在性；其次,通過遞推關(guān)系中取極限，解方程,從而得到數(shù)列的極限值。
2、利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例,形如,則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限,此時再用洛必達法則求解。
求項和或項積數(shù)列的極限,主要有以下幾種方法：
1、利用特殊級數(shù)求和法。如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式，那么通過整理可以直接得出極限結(jié)果。
2、利用冪級數(shù)求和法。若可以找到這個級數(shù)所對應(yīng)的冪級數(shù),則可以利用冪級數(shù)函數(shù)的方法把它所對應(yīng)的和函數(shù)求出,再根據(jù)這個極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值。
3、利用定積分定義求極限。若數(shù)列每一項都可以提出一個因子,剩余的項可用一個通項表示,則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
4、利用夾逼定理求極限。若數(shù)列每一項都可以提出一個因子,剩余的項不能用一個通項表示,但是其余項是按遞增或遞減排列的,則可以考慮用夾逼定理求解。
5、求項數(shù)列的積的極限,一般先取對數(shù)化為項和的形式,然后利用求解項和數(shù)列極限的方法進行計算。
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