高中數(shù)學(xué)解題的技巧
數(shù)學(xué)解題的思維過程
數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始,經(jīng)過探索思路,轉(zhuǎn)換問題直至解決問題,進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)。
對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過程,G . 波利亞提出了四個(gè)階段*(見附錄),即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì),可以用下列八個(gè)字加以概括:理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。
第一階段:理解問題是解題思維活動(dòng)的開始。
第二階段:轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心,是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程,是思維策略的選擇和調(diào)整過程。
第三階段:計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn),它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá),是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。
第四階段:反思問題往往容易為人們所忽視,它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面,是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。
數(shù)學(xué)解題的技巧
為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確,思路更加活潑,進(jìn)一步提高探索的成效,我們必須掌握一些解題的策略。
一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”,即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題,以通過對(duì)新題的考察,發(fā)現(xiàn)原題的解題思路,最終達(dá)到解決原題的目的。
基于這樣的認(rèn)識(shí),常用的解題策略有:熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。
一、 熟悉化策略
所謂熟悉化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí),要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式,順利地解出原題。
一般說來,對(duì)于題目的熟悉程度,取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析,任何一道解答題,都包含條件和結(jié)論(或問題)兩個(gè)方面。因此,要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題,可以在變換題目的條件、結(jié)論(或問題)以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。
常用的途徑有:
(一)、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型:
按照波利亞的觀點(diǎn),在解決問題之前,我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型,充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論,從而解決現(xiàn)有的問題。
(二)、全方位、多角度分析題意:
對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題,常?梢圆煌膫(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此,根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),適時(shí)調(diào)整分析問題的視角,有助于更好地把握題意,找到自己熟悉的解題方向。
(三)恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素:
數(shù)學(xué)中,同一素材的題目,常?梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式;條件與結(jié)論(或問題)之間,也存在著多種聯(lián)系方式。因此,恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素,有助于改變題目的形式,溝通條件與結(jié)論(或條件與問題)的內(nèi)在聯(lián)系,把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。
數(shù)學(xué)解題中,構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的,常見的有構(gòu)造圖形(點(diǎn)、線、面、體),構(gòu)造算法,構(gòu)造多項(xiàng)式,構(gòu)造方程(組),構(gòu)造坐標(biāo)系,構(gòu)造數(shù)列,構(gòu)造行列式,構(gòu)造等價(jià)性命題,構(gòu)造反例,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。
二、簡單化策略
所謂簡單化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí),要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題,以便通過對(duì)新題的考察,啟迪解題思路,以簡馭繁,解出原題。
簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來,我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。
因此,在實(shí)際解題時(shí),這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的,只是著眼點(diǎn)有所不同而已。
解題中,實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的,常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié),分類考察討論,簡化已知條件,恰當(dāng)分解結(jié)論等。
1、尋求中間環(huán)節(jié),挖掘隱含條件:
在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題,就其生成背景而論,大多是由若干比較簡單的基本題,經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。
因此,從題目的因果關(guān)系入手,尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件,把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題,是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。
2、分類考察討論:
在些數(shù)學(xué)題,解題的復(fù)雜性,主要在于它的條件、結(jié)論(或問題)包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題,選擇恰當(dāng)?shù)?分類標(biāo)準(zhǔn),把原題分解成一組并列的簡單題,有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。
3、簡單化已知條件:
有些數(shù)學(xué)題,條件比較抽象、復(fù)雜,不太容易入手。這時(shí),不妨簡化題中某些已知條件,甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧,先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題,對(duì)于解答原題,常常能起到穿針引線的作用。
4、恰當(dāng)分解結(jié)論:
有些問題,解題的主要困難,來自結(jié)論的抽象概括,難以直接和條件聯(lián)系起來,這時(shí),不妨猜想一下,能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分,以便各個(gè)擊破,解出原題。
三、直觀化策略:
所謂直觀化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象,不易捉摸的題目時(shí),要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題,以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系,找到原題的解題思路。
(一)、圖表直觀:
有些數(shù)學(xué)題,內(nèi)容抽象,關(guān)系復(fù)雜,給理解題意增添了困難,常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性,使正常的思維難以進(jìn)行到底。
對(duì)于這類題目,借助圖表直觀,利用示意圖或表格分析題意,有助于抽象內(nèi)容形象化,復(fù)雜關(guān)系條理化,使思維有相對(duì)具體的依托,便于深入思考,發(fā)現(xiàn)解題線索。
(二)、圖形直觀:
有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目,用代數(shù)方法求解,道路崎嶇曲折,計(jì)算量偏大。這時(shí),不妨借助圖形直觀,給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治,拓寬解題思路,找出簡捷、合理的解題途徑。
(三)、圖象直觀:
不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目,與函數(shù)的圖象密切相關(guān),靈活運(yùn)用圖象的直觀性,常常能以簡馭繁,獲取簡便,巧妙的解法。
四、特殊化策略
所謂特殊化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí),要注意從一般退到特殊,先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題,以便從特殊問題的研究中,拓寬解題思路,發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。
五、一般化策略
所謂一般化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時(shí),要設(shè)法把特殊問題一般化,找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果,順利解出原題。
六、整體化策略
所謂整體化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí),要適時(shí)調(diào)整視角,把問題作為一個(gè)有機(jī)整體,從整體入手,對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造,以便從整體特性的研究中,找到解決問題的途徑和辦法。
七、間接化策略
所謂間接化策略,就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難,或在特定場合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí),要隨時(shí)改變思維方向,從結(jié)論(或問題)的反面進(jìn)行思考,以便化難為易解出原題。
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