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廠商研發(fā)的非合作和合作博弈模型分析
摘 要 建立一個(gè)兩階段博弈模型來分析兩個(gè)相同公司間研發(fā)的非合作和合作情況,并通過比較研發(fā)的均衡水平、消費(fèi)者剩余以及福利,得出如下結(jié)論：在研發(fā)過程中,與非合作情形相比，公司間進(jìn)行合作時(shí)的均衡水平較高,消費(fèi)者剩余和社會福利較大,因此兩公司間研發(fā)的合作比不合作要好,并且這種合作是一種雙贏的結(jié)果。關(guān)鍵詞 研發(fā)(R&D) 兩階段博弈 子博弈完備均衡 博弈模型
中圖分類號 F124.3 文獻(xiàn)標(biāo)識號 A
1 引言
研發(fā)對一個(gè)公司來說至關(guān)重要，它是公司能夠持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵因素。只有通過研發(fā)，公司才能推出新產(chǎn)品來保持和提高自己的份額。因此幾乎每個(gè)公司都對研發(fā)投入了大量資金，并且研發(fā)經(jīng)費(fèi)占公司利潤的比例有不斷提高的趨勢。但是，對每個(gè)公司來說，公司間的研發(fā)競賽是次優(yōu)的，這主要表現(xiàn)在：從社會總體發(fā)展來看，由于公司間研發(fā)的保密而使很多經(jīng)費(fèi)進(jìn)行同樣的研發(fā)，從而使社會資源產(chǎn)生浪費(fèi)。從單個(gè)公司來說，研發(fā)間的競爭導(dǎo)致了公司的沉重負(fù)擔(dān)，甚至有的公司不堪重負(fù)而破產(chǎn)。因此，公司間研發(fā)的合作是非常重要的，這不僅僅表現(xiàn)在社會資源的有效利用，而且表現(xiàn)在這種合作是一種雙贏的結(jié)果。本文通過一些合理的假設(shè)探討了兩個(gè)相同公司間研發(fā)的非合作和合作博弈模型，并分析這種現(xiàn)象給出評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行對比分析。
2 非合作博弈模型
本模型是Cournot模型的一種推廣，文中的許多假設(shè)和Cournot模型相同，所不同的是Cournot模型是一種完全信息靜態(tài)博弈模型，而本文所給出的模型是一種兩階段博弈模型，即在Cournot模型的基礎(chǔ)上加進(jìn)了公司的研發(fā)投入階段。
模型的若干假設(shè)：一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中只有兩個(gè)相同的公司，也可以說這兩個(gè)公司是對稱的，即一個(gè)公司是另一個(gè)公司的復(fù)制，兩個(gè)公司在投入，產(chǎn)出水平，以及上都是相同的，并設(shè)兩個(gè)公司的初始單位成本為c，即沒有進(jìn)行研發(fā)時(shí)的成本，兩公司所進(jìn)行的兩階段博弈模型如下：在第一階段，兩個(gè)公司同時(shí)選擇研發(fā)投入經(jīng)費(fèi)x1,x2后進(jìn)行研發(fā)過程；在第二階段，兩個(gè)公司注意到研發(fā)投入經(jīng)費(fèi)x1,x2，生產(chǎn)出產(chǎn)品后在產(chǎn)品市場上進(jìn)行競爭。
由于混合策略在公司進(jìn)行決策時(shí)過于麻煩，并且公司的研發(fā)對于一個(gè)公司來說至關(guān)重要，有的研發(fā)一旦確定，就需要相當(dāng)長的時(shí)間去完成，中途更改的機(jī)會成本很高，因此，本文只討論純策略時(shí)的情況，并且討論的是一個(gè)一次博弈模型，而不考慮重復(fù)博弈時(shí)的公司行為，所以本文過多地關(guān)注純策略子博弈完備均衡就不足為奇了。
在這里，假設(shè)兩公司進(jìn)行研發(fā)后，能夠有效地降低其單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本，而不是推出新產(chǎn)品，即我們的注意力放在研發(fā)對技術(shù)的貢獻(xiàn)上。假設(shè)一單位的研發(fā)投入能夠降低單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本為f（x1）,f（x2）,其中f（x）=■（0
=qi（a-（qi+qj）-c+f（xi））-xi
采用倒推法可以求得純策略子博弈完備均衡，由于這兩個(gè)階段對兩個(gè)公司來說都是知識，我們先假設(shè)在第二階段兩公司在產(chǎn)品市場進(jìn)行競爭時(shí)，使得對方已達(dá)到均衡數(shù)量時(shí)使自己的收益達(dá)到最大，同樣地，在求得第二階段的均衡收益時(shí)可以以這個(gè)均衡為基礎(chǔ)求出第一階段的均衡收益，這就是所要求的純策略子博弈完備均衡的收益值。其具體過程如下：
在第二階段有■=0
■=0
由于兩個(gè)公司是對稱的，可解得：
q■■=■，q■■=■
即在第二階段兩公司得收益為：
*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x1
*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x2
由于兩個(gè)公司在第二階段都達(dá)到了預(yù)期的水平，在第一階段兩個(gè)公司也同樣有這樣的動機(jī)來達(dá)到這種情況，即假設(shè)另一個(gè)公司已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)水平的情況下使自己的收益達(dá)到最大，這主要是建立在兩個(gè)階段都具有充分的共同知識的基礎(chǔ)上。第一階段的解為：
■=0
■=0
解得：x■■=x■■=32r(a-c)2，并且
*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
由于所討論的是兩個(gè)同樣的公司，所以本博弈模型的均衡為對稱解，從上面的均衡可以算出消費(fèi)者剩余S：
S=1/2b(q■■+q■■)2=2(■)
3 合作博弈模型
合作是指兩個(gè)公司為了共同的目的而進(jìn)行的一種妥協(xié)，兩公司間研發(fā)的合作主要涉及的是雙方對研發(fā)的投入與其所得之間的問題，可是在合作博弈中這并不能簡單的解決這個(gè)問題，很有可能當(dāng)兩個(gè)公司由于研發(fā)費(fèi)用的分擔(dān)和收益的獲得不平等的時(shí)候，這種合作就有破裂的危險(xiǎn)，也就是說合作博弈所尋找的是讓兩個(gè)公司從根本上認(rèn)識到這種合作對任何一方來說沒有偏袒，所以這里主要解決的是兩個(gè)公司如何分擔(dān)費(fèi)用和收益的問題。在這里我們依然沿用非合作博弈的框架來表述兩個(gè)公司在研發(fā)方面的合作，只不過在合作博弈的第一階段，兩公司所進(jìn)行的是研發(fā)費(fèi)用的共同分擔(dān)和研發(fā)的共同獲益，并且研發(fā)費(fèi)用的總和比非合作情況下要少很多，從這方面講，研發(fā)的合作比不合作要好。兩公司進(jìn)行合作時(shí)，依然會出現(xiàn)利益沖突，因?yàn)橐环降耐度朐黾訒䦟?dǎo)致另一方的投入會慢慢地減少，從而減少的一方會從中獲得更多的好處，并且由于兩個(gè)公司可能對研發(fā)的要求不一樣而導(dǎo)致合作研發(fā)是否好的問題，在這里不考慮這種情況，公司所要求的只是按照博弈規(guī)則進(jìn)行。為了反映雙方的費(fèi)用和收益之間的關(guān)系，在這里給出合作博弈的基本框架，并給出合作博弈的均衡解，從以下結(jié)果中可以看到這個(gè)均衡是唯一存在的。
在這里，合作博弈是從非合作博弈的基礎(chǔ)上進(jìn)行一種變換而來的，即其基本框架依然是非合作博弈，只不過我們尋找的是變換后的博弈模型的均衡解。設(shè)*9祝=（{1，2}，C1，C2，u1,u2）是一個(gè)博弈，ψ是一個(gè)合作變換，則ψ（*9祝）就為另一個(gè)博弈。在這里主要討論的是一種兩人討價(jià)還價(jià)博弈模型(F,v)。設(shè)F={（u1（μ)，u2（μ））|μ∈△（C）}，△（C）為C=（C1，C2），為上的一個(gè)概率分布。在這里可以看出，F(xiàn)是非合作博弈情況下的解的可行集，對這個(gè)集合進(jìn)行一些限制條件后就構(gòu)成了合作博弈的解的可行集,即F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，這里F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，這里是非空有界的， v是不一致同意點(diǎn)，也即他們不進(jìn)行合作也可以達(dá)到的點(diǎn)。其中非空有界集說明存在某個(gè)可行配置對兩個(gè)局中人來說至少與不一致同意點(diǎn)一樣好，但不可能出現(xiàn)超過不一致同意點(diǎn)的無界收益。對兩個(gè)局中人來說，僅當(dāng)F中至少存在一個(gè)配置y。都嚴(yán)格好于不一致同意配置v時(shí)，我們才稱這個(gè)兩人討價(jià)還價(jià)問題（F,v）是實(shí)質(zhì)上的，也就是這個(gè)可行集中至少存在一個(gè)均衡值�？梢钥闯鑫覀兯懻摰暮献鞑┺哪Ｐ褪菍�(shí)質(zhì)上的。
設(shè)*9準(zhǔn)（F，V）為R2中的某個(gè)配置向量，它是當(dāng)F為可行配置集且v是不一致同意的配置下的討價(jià)還價(jià)的結(jié)果。設(shè)*9準(zhǔn)i（F，V）表示*9準(zhǔn)（F，V）的第I個(gè)分量，即*9準(zhǔn)（F，V）=*9準(zhǔn)1（F，V）,*9準(zhǔn)2（F，V），則對任一個(gè)討價(jià)還價(jià)問題(F,v)，納什討價(jià)還價(jià)解的公理可表示如下：
(1)強(qiáng)有效性。*9準(zhǔn)（F，V）是F中的一個(gè)配置，x≥*9準(zhǔn)（F，V）且對F中的任一個(gè)x，則x=*9準(zhǔn)（F，V）。即解是可行的且是帕累托有效的。
(2)弱有效性公理。*9準(zhǔn)（F，V）=∈F且F中不存在任何y，使得y＞*9準(zhǔn)（F，V）。
(3)個(gè)人理性。*9準(zhǔn)（F，V）≥V即配置會越來越好。
(4)尺度協(xié)變性。對任意λ1＞0,λ2＞0,r1r2,若G={(λ1x1+r1,λ2x2+r2)|(x1,x2)∈F}且w=(λ1v1+r1,λ2v2+r2)，則*9準(zhǔn)(G,w)=(λ1*9準(zhǔn)1(F,v)+r1, λ2*9準(zhǔn)2(F,v)+r2)即(F,v)的任何仿射變換不會影響效用函數(shù)的決策性質(zhì)。
(5)無選擇的獨(dú)立性公理。對任一閉凸集，若G*9哿F，且*9準(zhǔn)（F，v）∈G,則*9準(zhǔn)（G，v）=*9準(zhǔn)（F，v）。即討價(jià)還價(jià)解并不會因?yàn)樘蕹切┎槐贿x擇的可行對象而 改變。
(6)對稱性。若V1=V2且{(X1,X2)|(X1,X2)∈F}=F,則*9準(zhǔn)1（F，v）=φ2（F，v）。即若雙方是對稱的,則解也是對稱的。
設(shè)討價(jià)還價(jià)雙方是個(gè)人理性的，并且F中的一個(gè)配置是個(gè)人理性的充要條件是 x≥v。在這里我們關(guān)注的是納什討價(jià)還價(jià)解，它由以下定理確定。
定理1：存在唯一的一個(gè)解函數(shù)φ（·，·）滿足上述公理(1)到(5),對于每個(gè)討價(jià)還價(jià)問題(F,v)，這個(gè)解函數(shù)都滿足*9準(zhǔn)（F，v）∈■■（x1-v1）（x2-v2）。
在進(jìn)行雙方合作時(shí)我們注意的是雙方的投入與其收益之間的關(guān)系，為了解決這個(gè)問題，在這里采用平等主義解和功利主義解的概念。平等主義解的意思是雙方的投入應(yīng)該是相等的,特別是對兩個(gè)相同結(jié)構(gòu)的公司來說，只有這樣他們的投入才會在同一個(gè)起跑線上；功利主義解是從雙方這個(gè)整體來考慮的，即在平等主義解的基礎(chǔ)上，如果雙方所獲得的總收益越多，則每一方所獲得的就會相應(yīng)地增加。
平等主義解為F中唯一弱有效且滿足如下等收益的點(diǎn)x：x1-v1=x2-v2；
功利主義解為任一解函數(shù)，他對每個(gè)兩人討價(jià)還價(jià)問題(F,v)都選擇兩個(gè)配置x，使得x1+x2=■（y1+y2）。
顯然這兩個(gè)解不滿足尺度協(xié)變性公理。為了使他們滿足這個(gè)公理，特做如下修改：給定任意λ1，λ2，r1，r2，使得λ1＞0，λ2＞0令L(y)=（λ1y1+r1，λ2y2+r2），y∈R2
并且對給定任一兩人討價(jià)還價(jià)問題（F,v），令L（y）={L(y)|y∈F},于是(L(F)，L(v))的平等主義解為L(x)，其中x是F中唯一弱有效點(diǎn)，且使得λ1(x1-v1)=λ2(x2-v2)，則稱其為(F,v)的λ平等主義解，類似的，（L(F),L(v))的功利主義解一定是某個(gè)點(diǎn)L(z)，其中z是F中的一個(gè)點(diǎn)使得λ1z1+λ2z2=■（λ1y1+λ2y2）。
λ1，λ2稱為(F,v)的自然尺度因子，即對任一實(shí)質(zhì)上λ=(λ1，λ2)的(F,v),存在一個(gè)向量使得λ＞(0,0)且(F，v)的λ平等主義解同時(shí)也是(F,v)的λ功利主義解，而納什討價(jià)還價(jià)解可以被視為均等收益和最大收益這兩個(gè)原則的一個(gè)自然綜合，為了便于計(jì)算，以下給出這兩種解的等價(jià)條件。
定理2：令(F,v)為一個(gè)實(shí)質(zhì)上的兩人討價(jià)還價(jià)問題，并令x為一個(gè)滿足x∈F，且x≥v的配置向量，則x為(F,v)的納什討價(jià)還價(jià)解的充要條件是，存在嚴(yán)格正的數(shù)λ1和λ2，使得λ1x1-λ1v1=λ2x2-λ2v2及λ1x1+λ2x2=■（λ1y1+λ2y2）。
有了以上的理論基礎(chǔ)，就可以求出合作博弈的純策略子博弈完備均衡解，這里同樣采用的是倒推法進(jìn)行求解，在第二階段,同樣可以求出q■■q■■,在第二階段合作博弈的解即為下列優(yōu)化問題:■（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）
解得：x■■=x■■=■(■)2
在合作情況下雙方的收益為：
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
其中新的消費(fèi)者剩余為：
S′=1/2（q■■q■■）2
通過計(jì)算得到一下結(jié)論：
x■■＜x■■，x■■＜x■■ (1)
q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）
q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）(2)
S′＞S(3)
其中：（1）式說明合作情況下的研發(fā)投入比非合作情況下的投入要�。唬�2）式說明合作情況下的產(chǎn)出比非合作情況下的產(chǎn)出要多；（3）式說明合作情況下的消費(fèi)者剩余比非合作情況下的要大.
4 比較分析
從非合作博弈和合作博弈的結(jié)果看，合作博弈的結(jié)果都優(yōu)于非合作博弈的結(jié)果，在非合作博弈中，公司為了減少所進(jìn)行的研發(fā)是每個(gè)公司分別分擔(dān)的，但由于兩個(gè)公司在第一階段進(jìn)行了研發(fā)合作，使得兩個(gè)公司共同分擔(dān)了研發(fā)成本，并且這種分擔(dān)減少了由于兩個(gè)公司分別承擔(dān)時(shí)的重復(fù)投入，從而使產(chǎn)量提高，消費(fèi)者剩余變大，這說明消費(fèi)者從兩個(gè)公司的合作中得到了好處，也就是運(yùn)行更為有效，并且在研發(fā)的合作上只是在第一階段進(jìn)行,而第二階段兩個(gè)公司依然在產(chǎn)品市場上進(jìn)行產(chǎn)品競爭，這種競爭和Cournot模型中的情況是一樣的，這里我們并沒有討論兩個(gè)公司在產(chǎn)品市場進(jìn)行合作的情形，一方面可能由于兩個(gè)公司收到區(qū)位限制而無法合作，另一方面由于其他的原因而導(dǎo)致這種合作違反，與Cournot模型所不同的是這里多了一個(gè)成本是如何減少的這一階段。從兩個(gè)公司的收益來看，兩個(gè)公司的合作可以使得雙方的收益增加的可能性變大，每個(gè)公司的收益分為兩個(gè)部分，一部分是在產(chǎn)品市場上的銷售收益，再減去進(jìn)行研發(fā)時(shí)的投入費(fèi)用。與非合作情況相比，在合作情況下由于產(chǎn)量增加、價(jià)格下降，使得每個(gè)公司除去研發(fā)投入外的收益變得不是很確定，這部分收益有賴于參數(shù)的具體值，不過由于假設(shè)反需求曲線的斜率是1，所以這部分收益并不會變化很多，可是收益的另一部分即研發(fā)投入(它可以減少成本，從相反的方向看這種成本的減少表現(xiàn)為一種間接的收益)明顯的減少了，所以從總體上來說，兩個(gè)公司之間的收益都增加了。
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