古琴音樂中的分形幾何論文
內(nèi)容摘要：傳統(tǒng)的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側(cè)重于音樂的藝術(shù)性角度（音樂的社會(huì)屬性），鮮見有從音樂的科學(xué)性角度（音樂的自然屬性）進(jìn)行研究的。但是，近年來隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對(duì)古琴音樂作品進(jìn)行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，并且對(duì)古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進(jìn)行了初步的比較分析，揭示出不同時(shí)空、不同歷史文化背景下音樂的共同特征——分形性。
關(guān) 鍵 詞：古琴音樂 分形幾何 音樂研究 方法 科學(xué) 分形音樂
一、引言
在我國(guó)傳統(tǒng)音樂中，古琴是最古老的弦樂器之一�！稑酚洝酚小拔粽咚醋魑逑抑�，以歌南風(fēng)”之說。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風(fēng)以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽(yáng)，造為雅樂，名之曰琴。”另外也有人說古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說，無文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽(yáng)殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“ ”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說明在殷商時(shí)代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應(yīng)產(chǎn)生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。
對(duì)于這樣一件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉菲�，不僅在中國(guó)，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個(gè)！因此，對(duì)古琴尤其是古琴音樂進(jìn)行詳細(xì)的考察與研究，不僅能夠揭示我國(guó)古代音樂的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國(guó)古代社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展與變化[2][3][4]。
對(duì)音樂進(jìn)行研究，當(dāng)今占據(jù)主導(dǎo)地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時(shí)期的作品，或某一地域（或西方或東方或非洲或拉美）的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會(huì)有音樂，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時(shí)空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性�？蛇@種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認(rèn)為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。
二、分形幾何與音樂
分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀(jì)60年代末提出來的。它的主要思想是說，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無章的背后仍存在著規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是在放大過程中呈現(xiàn)出的自相似性。
在自然界中，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長(zhǎng)，相變過程和化學(xué)反應(yīng)等；宇觀世界中太陽(yáng)黑子的活動(dòng)和星際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級(jí)的分布等；就連我們?nèi)梭w血液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī)律。
既然我們賴以生存的這個(gè)世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識(shí)中（或者是本能地）對(duì)分形現(xiàn)象定會(huì)有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說我們?nèi)艘财珢鄯中�，正是這種偏愛形成了音樂創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對(duì)象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實(shí)驗(yàn)上證明了這一點(diǎn)，他們發(fā)現(xiàn)優(yōu)美動(dòng)聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進(jìn)行也是分形的。
三、古琴音樂中的分形幾何
為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會(huì)學(xué)定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)上給它下一個(gè)定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數(shù)學(xué)表達(dá)是什么？隨意地敲擊琴鍵不會(huì)產(chǎn)生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程 i 與其出現(xiàn)的幾率 F 應(yīng)滿足下述關(guān)系：
F = C/iD 或 logF=C’— Dlogi
即音程 i 的對(duì)數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對(duì)數(shù)之間存在線性關(guān)系，也就是說以 logF 和 logi 為縱橫坐標(biāo)作圖，則各點(diǎn)均應(yīng)在同一直線上。其中 D 為該作品的分形維數(shù)（分維），C 為比例系數(shù)，C’= logC。
許氏父子通過分析發(fā)現(xiàn)[8]，對(duì)于巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對(duì)于現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品，則無此種關(guān)系。為了對(duì)我國(guó)古代音樂進(jìn)行深入的理解與研究，為了對(duì)東西方音樂的異同進(jìn)行比較，下面我們也將使用這一方案對(duì)我國(guó)古琴音樂進(jìn)行分析。
首先選取《古逸叢書》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進(jìn)行分析。對(duì)該曲中音程 i 及其出現(xiàn)幾率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
將音程 i 及其出現(xiàn)概率F分別取對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)作圖可以看到（圖1A），在區(qū)間2≤i≤11，存在分形關(guān)系：
F = 3。80/i3。15
圖中與分形關(guān)系有較為顯著偏離的是i=7（純五度）和i=10（小七度）的過量。其實(shí)對(duì)于這種偏離也是不難理解的，根據(jù)和聲音程在聽覺上所產(chǎn)生的印象，音程可以分為協(xié)和音程與不協(xié)和音程兩類。兩音的頻率具有較小整數(shù)比的音程叫協(xié)和音程，屬于這一類的有極完全協(xié)和音程的純一度（1：1）和純八度（2：1）以及完全協(xié)和音程的純五度（3：2）和純四度（4：3）。所有這些音程聽起來都很悅耳，因而在優(yōu)美的樂曲中協(xié)和音程出現(xiàn)的幾率就較大，從而導(dǎo)致了對(duì)分形關(guān)系的偏離。類似的，由于不協(xié)和音程（小二度i=1，減五度i=6和大七度i=11等）在聽覺上給人的印象是比較刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在創(chuàng)作時(shí)總是有意識(shí)地少用，這也就導(dǎo)致了與分形關(guān)系的偏離。
圖1B是巴赫《創(chuàng)意曲》No。1的旋律分形關(guān)系。人們?cè)u(píng)論說，巴赫的作品有著數(shù)學(xué)般的精確，如果這種精確是指在其作品分形關(guān)系成立嚴(yán)格程度的話，那么把圖1A和圖1B相比較可以看出，古琴曲《幽蘭》有著較巴赫《創(chuàng)意曲》No。1更為精確的數(shù)學(xué)�！队奶m》曲早《創(chuàng)意曲》千年而作，況中國(guó)與德國(guó)又相距萬(wàn)里之遙，且又分屬東西方兩種不同的文化圈，何以二者都服從分形關(guān)系呢？難道這只是偶然的巧合嗎？
為了更深入地理解這一問題，我們對(duì)大量的.古琴曲[9]進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果表明，絕大多數(shù)的樂曲中均存在著分形關(guān)系。特別是《陽(yáng)春》和《華胥引》，它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)是分形關(guān)系中的比例系數(shù)C＝1（即分形關(guān)系線延長(zhǎng)與縱軸相交于O點(diǎn)），這與莫扎特的F大調(diào)《奏鳴曲》及A大調(diào)《奏鳴曲》完全一樣。一般認(rèn)為，莫扎特的這兩首曲子有著圖畫般的絢麗，而古琴曲《陽(yáng)春》和《華胥引》亦是音畫交融美妙無比。那么，這種對(duì)應(yīng)僅是種巧合呢還是有著尚未發(fā)現(xiàn)的更深刻的原因？
與西方古典音樂相比，古琴音樂有以下幾個(gè)特點(diǎn)。（1）同音重復(fù)和八度音出現(xiàn)的比例較大。究其原因，固然是因?yàn)橥糁貜?fù)（i=0）和八度音（i=12）屬于極完全協(xié)和音程，聽起來融合悅耳，但更主要的原因是古琴音樂大多來源于以民歌為基礎(chǔ)的琴歌，而民歌中同音重復(fù)的比例極大，這是一個(gè)帶有普遍性的規(guī)律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而創(chuàng)作的A大調(diào)《奏鳴曲》的第一樂章中，同音重復(fù)的比例亦高達(dá)27％。（2）幾乎沒有半音（i=1）和三整音（i=6）。與西方音樂不同，我國(guó)古代音樂大多采用五聲調(diào)式或以五聲調(diào)式為基礎(chǔ)的六聲調(diào)式與七聲調(diào)式。在五聲調(diào)式中根本就沒有半音和三整音，六聲調(diào)式中由于清角和變宮音的加入導(dǎo)致半音的出現(xiàn)，七聲調(diào)式中更由于在五聲調(diào)式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，從而導(dǎo)致除半音外又出現(xiàn)了三整音，但鑒于半音和三整音聽起來比較刺耳，而且演奏起來也不易把握，故而出現(xiàn)頻率較低。（3）小三度（i=3）的過量和大三度（i=4）的不足。眾所周知，由于漢語(yǔ)語(yǔ)言的音韻特點(diǎn)對(duì)音樂旋律的深刻影響，小三度在我國(guó)民族音階的發(fā)展過程中一直占有重要的地位，即使今天，在我國(guó)民間勞動(dòng)歌曲的呼號(hào)聲中，多數(shù)情況下小三度也還占據(jù)主導(dǎo)地位，如京韻大鼓口語(yǔ)旋律在行腔時(shí)就呈現(xiàn)典型的三度音程特征。所以說，小三度的過量是很自然的。大三度不足的原因同樣來源于古琴曲的調(diào)式，如在五聲調(diào)式中，大三度只能存在于宮音與角音之間，這樣在一首樂曲中，除非是有意地采用大三度音程，否則它一定是不足的。（4）復(fù)音程（i>12）出現(xiàn)的比例較大。西方古典音樂中復(fù)音程呈現(xiàn)的比例均在百分之一以內(nèi)，而在古琴音樂中復(fù)音程呈現(xiàn)的比例則在百分之幾到百分之十幾不等。這種差別可能來自于東西方人的心智模式（思維方式與思維習(xí)慣）的不同。國(guó)人一般是從整體上看待和把握事物，喜歡那種寬闊宏大的場(chǎng)面；而西方人通常是從細(xì)微之處認(rèn)識(shí)和掌握事物，他們喜歡那種細(xì)致、嚴(yán)格、有確定界限的景觀。這種哲學(xué)上的認(rèn)知差別反映在音樂中便造成了上述差異。
在分析中，我們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不存在分形關(guān)系的例子，這就是著名的古曲《流水》。其實(shí)，出現(xiàn)這一現(xiàn)象也是不難理解的，為了模仿水流的自然響聲，為了表現(xiàn)流水的從容緩進(jìn)和跌宕起伏，亦即為了表達(dá)流水的“洋洋乎”，曲作者過量地使用了小三度和純五度等音程，從而使得其他音程顯得相對(duì)不足，無法與其相匹配。但琴曲《流水》與西方現(xiàn)代無調(diào)性音樂（亦無分形關(guān)系存在）是不同的，在現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品中，廣音程特別是某些不協(xié)和音程（如減五度）出現(xiàn)的幾率很大，甚至超過了狹音程，但在《流水》一曲中狹音程出現(xiàn)的幾率仍是最大的。
四、結(jié)論
音樂研究通常是從音樂的社會(huì)性（即社會(huì)歷史與民族文化）角度進(jìn)行的。但是我們知道，音樂是一門藝術(shù)，也是一門科學(xué)。如何利用現(xiàn)代科學(xué)的成果進(jìn)行音樂創(chuàng)作與音樂研究，是擺在音樂工作者面前的一個(gè)新問題。
本文利用分形幾何的特征與方法，證明了古琴音樂中的旋律是分形的，并且對(duì)中外音樂作品的異同進(jìn)行了初步的比較分析。是否可以利用這種方法進(jìn)行完整的音樂形態(tài)（如和聲與織體等）分析呢？是否可以利用這種技術(shù)進(jìn)行音樂作品的改編呢？進(jìn)一步的研究表明答案是肯定的。
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