Peirce*邏輯代數
1現代常被人們追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驅者的地位)；接著談現代邏輯，人們會自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(維也納學派時期)、Quine等人，如此就認為是勾勒出了現代邏輯的脈絡。這一看法多年來幾乎是毫無異議的。但隨著邏輯科學尤其是現代邏輯的不斷發展，有潛心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）發現了那多年來一直被忽視但卻蘊藏在現代邏輯誕生之初的分歧，認為分歧之中與權威相對的另一面應該值得重新或深入的研究，這另一面就是由Boole開始經由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人維持的一條路線，它可看作是對邏輯基礎研究的另一途徑或方法（approach）。著名Peirce研究學者Ｍ.Ｈ.Fisch一語道出這一分歧的實際情形：“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我們簡寫為ＢＰＳ)路線不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我們簡寫為ＦＰＲ)路線取代了嗎？不；它只是被掩蓋了。”
在ＢＰＳ傳統中，Peirce（1839---1914）是位極其重要的人物，這倒不僅是因為他天才般的思維和對和邏輯史上后來工作者的實際影響（美國本土哲學家James、Dewey、Mead、Lewis等無不受其影響，甚至歐洲大陸的K.O.Apel等人的思想也多直接源于Peirce），也不僅是因為他涉足領域的廣泛（除哲學和邏輯學之外，還有、天、學、學、化學、大地測量、學、現象學等等）；而主要是因為他在現代邏輯理論史上的諸多實質性的貢獻。我們已經很難他敏銳的洞察力到底涉及到多少邏輯貢獻，但根據迄今為止Peirce學者的研究成果，以下的領域是當然的和主要的：形式邏輯（主要是對傳統邏輯的改進）、邏輯代數、關系邏輯、命題邏輯、謂詞邏輯、三值邏輯、模態邏輯、語言邏輯、邏輯哲學、歸納邏輯以及邏輯史研究。
Peirce早期的邏輯研究（從1865年到約1885年）主要集中于邏輯代數。在當時，布爾邏輯剛創立不久，布爾的追隨者很多，著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人，他們之間的研究有相互啟發與借鑒之處（有關貢獻的紛爭，可參看Kneale的《邏輯學的發展》），但主要還是相互獨立的。Peirce就是其中一位極具獨立性又最有創新的突出人物。身為著名數學家Benjamin Peirce（美國當時科學界的一權威）的兒子，Peirce本人也是一數學家，他對于代數在邏輯中的應用，得心應手，他甚至曾把“三段論”作為“聯結詞的代數”來研究。事實上，當時的符號邏輯就是邏輯代數（algebra of logic）。
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在Peirce看來，現代邏輯的研究實質上就是代數到邏輯的一場“類推(analogy)”，這種“類推”的前提，首先就是對代數中的符號的選擇。不同的邏輯代數研究者都有著自己的選擇，它們或者是從代數中原封不動地引入，或者是對代數中的相關符號做出邏輯意義上的改進。我們這里從Peirce邏輯代數研究中所運用的諸多符號中選取以下主要的幾個，其中有的是Peirce本人獨創性地提出，有的是Peirce同其他人同時提出和使用，有的是BPS傳統所特有的：
一、包含于（inclusion in 或 is或as small as）符號“—<”（它是“≤”的一種方便的寫法）的引入。這是最重要的一點，它被Peirce本人多次提到，也被后來的研究者所普遍注意。但Peirce本人稱，這一符號是由他和H.McColl同時引入的。Peirce這樣定義“—<”：
1、A —< A，無論A是什么；
2 、若A —< B，且B —< C，則A —< C。
他說，這樣的定義雖然未區分開包含關系和包含于關系，但為形式邏輯目的，卻是足夠的。Peirce看到包含于符號具有邏輯上的優點：首先，原來布爾的符號只能表達，物的某種描述不存在，而不能說某物不存在；而使用包含于和非包含于（ —<（超文本閱讀注釋：要在這一符號上方加一橫線）），“Griffin(一種怪獸) —< 噴火”意思就是，“不存在不噴火的Griffin”；同樣“動物 —<（超文本閱讀注釋：要在這一符號上方加一橫線）水生的”意思為，“存在不是水生的動物”。Peirce這種特別的解釋很容易使我們想起前些年一直討論的傳統三段論中的主詞存在問題；同時符號“—<”的解釋也使我們聯想到現在邏輯研究中廣泛運用的實質蘊涵符號“→”（其實，關于實質蘊涵，Peirce有更清楚的表達：從“x—< y”推到“是y（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一橫線）的x —<（不可能）”）。其次，在布爾的演算中經常用到的相等號或等值號“ = ”是一種更加復雜，即有著更大內涵（comprehension）或深度(depth)的關系，而相比之下，“—<”則更為簡單方便，我們可以說A=B蘊涵A—
關于Peirce的“—<”符號，還有一點值得一提。在談到這一系詞的三個屬性時，Peirce做出了卓有見識的引申。他說，對于包含（containing）關系，我們可有著不同于通�！啊�<”的理解，從而會得到與之平行的幾種邏輯學說。若令 a—<´ b意為a同b一樣小，除了在a同某物一樣小時而b不能同這一物一樣小之外，a 、b之間沒有什么不同；則我們可得到數學或量的邏輯學。若令a—<´´ b意為所有b是a，除了有a能謂述的某物而b不能謂述之外，a 、b之間沒有什么不同；這樣我們所得到的，在另一方面就僅僅是邏輯學。若令a—<´´´ b表示b是a的后承，除了兩者導出的后承不同之外，a 、b沒有什么不同；那么我們得到的將是條件句的邏輯學。這樣的一種解釋，一方面顯示了“—<”或蘊涵在邏輯科學中的基礎性的重要作用，另一方面也從一極為特別的角度論證了邏輯的多類型。此外，其與后來模型論的思想也有著本質上的吻合。
二、包含（inclusive）意義下的邏輯加（符號為“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號）”，有時直接用“+”）的使用。Peirce這樣定義邏輯加：
1、A—< A +（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號） B；
2、B—
3、若A—
符號“ +（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號） ”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce稱）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相繼獨立地提出了這一用法，即不管相互間是否相斥，都使用“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號）”，把不同的項加在一起。這也就是我們常說的區別于算術加的邏輯加，或者如現代邏輯中所說的相容析取。譬如“歐洲人 +（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號） 共和黨人”就表示，把所有歐洲人和共和黨人算在一起，而不用想盡辦法，像在算術中一樣，把共和黨人加上兩次。但若是Boole和Venn，他們就會寫成“歐洲人+ （超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號）非歐洲人的共和黨人”或“非共和黨人的歐洲人+（超文本閱讀注釋：要在這一符號右下方加一逗號）共和黨人”，這對于邏輯來說，顯然是種不必要的麻煩 。
三、對“1”的理解。同布爾（而論域的概念最初是由De Morgon引入的）一樣，Peirce在邏輯上把“1”看作有限論域（limited universe of discourse），而不是無限的全體域（an unlimited universe）。他認為，無限域將包括邏輯上可能的所有領域。在這樣一個全域中，每一全稱命題，如果不是重言的，就是假的；每一特稱命題，如果不是荒謬的，就是真的。我們的談話很少涉及這種全域，我們倒是經常想起物理上可能的，或上存在的，或有某種虛構的世界，或是其它的有限域。這樣的一種觀點可認為是BPS路線的一特色之處，年僅23歲就去世的法國著名邏輯學家Herbrand正是在一方面接受并重視了這樣一種認識，另一方面精心研究《數學原理》系統的基礎上，在謂詞邏輯等現代邏輯理論上做出了突出貢獻。事實上，在邏輯史上這樣一種觀點支持了包括可能世界理論（模態邏輯）、模型論、邏輯語義學和元邏輯理論等在內的一系列理論。然而，與以上有限域的認識截然不同的觀點確實在過去以及現在的邏輯學家中存在，最為典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命題都是重言式”和“邏輯命題描述世界的腳手架”的提出，正是基于一種無限域的認識；他把現實世界與我們的語言（認為，我們只有一種自然語言或人工語言）一一對應起來，認為我們對任何系統都只有一種解釋，任何時候我們都不能跳出我們唯一的語言之外去言說我們自己。
四、其它符號。 以下我們將通過定義或描述的方法列出Peirce的另一些符號：邏輯等即等值“ = （超文本閱讀注釋：要在這一符號下方加一逗號）”，與算術上的等號相區別，但Peirce在很多時候，干脆把它寫為“ = ”，只是在邏輯上仍與符號“=（超文本閱讀注釋：要在這一符號下方加一逗號）”含義一樣。邏輯乘（符號為“，”）定義為：
1、A，B—< A；
2、A，B—< B；
3、若C—
“有（what it is）”定義為：x—< 1，不論x是什么；而“無（nothing）”定義為：0 —< x，不論x是什么。在“A（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一口朝上的半圓�。� —< B（打印注釋：要在這一字母上方加一橫線）”中，A（超文本閱讀注釋：要在這一符號上方加一口朝上的半圓�。┍硎尽耙恍〢”，B（超文本閱讀注釋：要在這一符號上方加一橫線）表示“非B ”。 量詞符號：Π和Σ分別代表“所有”和“一些”。還有，包含以上符號的公式 x (1—y) = 0; x y = 0; x y ≠ 0; x (1—y) ≠ 0，它們或許是我們最為熟悉的。
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以上所談Peirce的些許理論，當然不能概括出他全部的理論精華；其研究廣度如上文所述，而且每一領域都有著獨創性或突破性的貢獻。但是，歷史，包括邏輯史，好象總愛玩弄一種“狡計”：天才總在歷史的車輪繼續開向前時才能被發現和認同，如Frege的《概念文字》和《算術基礎》在發表數年之后，才被Russell和Carnap首先給予重視；Peirce的命運比Frege來得更壞，倒是他哲學上的實用主義理論在提出數年之后也被James給予了贊譽，稱他為“實用主義的鼻祖”；但是，正如Russell所說，“我們通常把Peirce看作是實用主義的創始人。但是這種看法需要認真加以限制。現代的實用主義不是出自Peirce，而是出自W.James以為Peirce說過的話�！薄八膶嵭е髁x（pragmaticism）和James的實用主義（pragmatism）并沒有多大關系�！备螞rPeirce的邏輯貢獻只是在比James更晚的時間才尋到了“伯樂”。
Peirce的研究狀況在國內尤為糟糕。哲學上，人們提到實用主義，首先會談到James，恐怕只有讀過James的人才會知道P
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eirce，而且多少年來，我們對Peirce的理解仍舊停留在James階段，即《通俗科學雜志》上的兩篇文章：《如何使我們的觀念清楚明白》和《信念的確定》。在上，也沒有更好，就是目前我們也很難在某一著作或雜志上找到一篇稍長一點的簡介；與Frege相比，我們言現代邏輯，必談Frege，卻總談不到Peirce。難道說，Peirce真的不重要嗎？當然不是！國外多年來的研究以及諸多家和邏輯學家（Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等）受益于其理論的事實已經表明了這一點。筆者認為Peirce邏輯理論中至少以下的幾點應該在目前國內邏輯學界引起重視：首先，應明確Peirce所代表的BPS路線是屬于代數方法（algebraic approach）的，完全不同于Frege所代表的公理化方法（axiomatic approach）的路線。Peirce曾專門談到，“邏輯符號系統的目的”“僅僅且只是邏輯理論的研究（investigation），根本不是建構一個輔助推理的演算”；“為邏輯理論設計的系統應該是盡可能分析的（analytical），把推理分為盡可能多的步驟，把它們都展示于盡可能最一般的范疇之下�！币虼耍覀儾荒芷谕麖腜eirce那里找到優于或并列于Frege、Peano、Russell等人的所謂標準公理系統的演算。評價Peirce我們決不能以ＦＰＲ傳統的觀點和標準，而要以全面的現代邏輯觀點：包括各種標準和非標準邏輯、邏輯哲學和哲學邏輯都在內的正在發展著的現代邏輯思想，立足于邏輯的核心：推理，緊緊圍繞邏輯的目的：設法增進我們推理的有效性，來進行實事求是的、無偏見的重新認識或者是第一次認識。展開來說，對Peirce的正確評價，其實涉及到我們邏輯研究視角的轉換和拓展；任何時候，我們都千萬不要把邏輯形式系統的建構與豐富而深刻的邏輯理論研究等同起來，對于真正的邏輯理論研究，我們既不能滿足于煩瑣概念的詭辯游戲，同樣也不能是僅僅的抽象符號的純演算，要記著，我們所采用的一切手段和工具都服務于我們心中永恒的邏輯目的：（邏輯）有效性的增進，（邏輯）真的追求。
其次，Peirce從對Aristotle邏輯的深入分析和對邏輯史的細致研究（Peirce曾建立有自己的邏輯）以及對 Kant理論的批判性發展出發，來做出自己的邏輯研究，他對邏輯的態度始終是不帶偏激、不遺殘缺的。表現在邏輯與的關系上，他早就提出，邏輯不能歸結于數學，同樣數學也不可能歸結于邏輯；從而避免了走向Frege 和Russell他們邏輯主義的死胡同。表現在對于一階邏輯的態度上，Peirce并不像Quine（在Frege那里也隱含著）那樣宣稱，如果誰不知道一階邏輯，誰就對邏輯毫無理解，全部邏輯也就只是一階邏輯；在他看來自我同一的量化理論只是眾多邏輯系統中的一個，他常常設法給出一階邏輯的更為深刻的基礎并拓展這一范圍，他說，說數學演示方法是唯一普遍有效的，這正是邏輯學家們視之為謬誤而要避免的。
再次，Peirce對待形式化的思想無疑包含了模型論的全部要義。Peirce有著自己的邏輯代數等演算，但他更注重它們的解釋；他相信，真正重要的不是什么形式系統，而是潛在的所表達的實在（realities），我們可自由地根據不同場合選擇我們不同的系統。
最后，Peirce得益于早期在對邏輯代數研究中形成的符號邏輯系統目的即邏輯理論研究的思想，使他沒有局限于使用代數的符號，而又采取了圖表（graph）符號，進而形成了他著名的存在判斷圖表系統α、β、γ，并最終達到了“大邏輯”（a broad sense of logic）--“符號（sign）”或“象標（iconicity）”的理論的認識。其存在判斷圖表（existential graphs）理論，在近年來基于的圖表推理表示法發展之后，被應用于人工智能領域，甚至IBM的一研究者John Sowa，奠基于這一理論又發展出了一概念圖表（conceptual graphs）。
上述Peirce的一系列觀點，在今天處于邏輯科學前沿的Hintikka、Ｊ.Ｖ.Ｈeijenoort等人那里得到了熱烈呼應，他們把Peirce稱為的模型論觀點的一標準成員（integral member）來對待，并把他與Husserl并提，用來對抗由Frege到Heidegger的“作為語言的邏輯（logic as language）”的傳統（其核心觀點是，現實世界是語言的唯一解釋，不存在多數可能的世界，從而否定模態邏輯的合法性，否認真理的可判定性或主張“真”的無法言說（ineffable））。
主 要 參 考 文 獻
Peirce,Charles Sanders Collected Papers Of Charles Sanders Peirce edited by Charles Hartshorne and Paul Weiss The Belknap Press Of Harvard University Press ,1931-1935.
Peirce,Charles Sandes Writings of CHARLES S. PEIRCE ( A Chronological Edition ) edited by Edward C. Moore ,Indiana University Press 1984.
Peirce,Charles Sanders logic , symbolic logic 詞條 Dictionary of Philosophy and Psychology edited by James Mark Baidwin, The Macmillan Company, 1925.
Peirce,Charles Sanders Philosophical Writings of Peirce selected and edited by Justus Buchler, Dover Publications,Inc.,1955.
Hintikka,Jakko Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator Kluwer Academic Publishers,1997.
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