CL多小波預處理方法在故障數據壓縮中的應用電子學論文
1 引言
多小波分析是一種基于小波理論的近幾年發展起來的新理論，多小波可同時具有對稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩等屬性，而這些屬性是傳統實系數小波不能同時具有的[1]。多小波有許多構造方法，如Geronimo等人[2]應用分形插值方法構造了具有短支撐、正交性、對稱性和二階消失矩屬性的GHM多小波，Chui等人[3]利用多小波的正交性、緊支撐性、對稱性和插值性構造了CL(Chui-Lian)多小波，Jiang[4]利用時頻分析中的窗函數性質構造了具有最優時頻分辨率的Jiang系列多小波，Mariantonia Cotronei等人[5]利用Hurwitz塊矩陣和Gram矩陣構造了半正交多小波。本文在介紹CL多小波理論的基礎上，深入探討了CL多小波的預處理方法，并將其應用于電力系統正弦信號數據和故障暫態數據的壓縮，還比較了GHM多小波與CL多小波的數據壓縮效果。
2 CL多小波的基本理論
小波分析中的多分辨率即是將平方可積信號f∈L2(R) 的逐級逼近視為采用低通平滑函數φ(t) 對f(t) 作平滑濾波的結果，且逐級逼近時平滑函數φ(t)也作逐級伸縮。一個多分辨率分析由一個尺度 函數生成，且包含一個經平移與伸縮構成L2(R) 空 間基的小波函數。類似地，多小波分析中也存在多分辨率分析，一個多分辨率分析由多個尺度函數生成，且包含多個經平移與伸縮構成L2(R) 空間基的 小波函數，這些小波函數即稱為多小波[6]。
多小波的多尺度函數φ(t)和多小波函數Ψ(t)滿足以下二尺度矩陣方程[3]
式中 0≤k≤L ，Hk 和Gk 為r×r維系數矩陣;L為多小波濾波器長度;r為多小波維數。根據多小波的多分辨率分析，有如下快速多小波分解與重構公式[7]
式中
為多小波分解和重構的低頻系數;
為多小波分解和重構的高頻系數;
分別為Hk 和Gk 的復共軛矩陣。
位于區間[0,2]上的CL多小波的兩個尺度函數φ1(t)、φ2(t)和兩個小波函數Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撐區間均為[0,2];位于區間[0,3]上的CL多小波的兩個尺度函數φ1(t)、φ2(t)和兩個小波函數Ψ1(t)、Ψ2(t)的支撐區間均為[0,3]。為方便起見，作者根據Daubechies系列小波的定義方式，將上述兩種CL多小波暫稱為CL3多小波和CL4多小波(即它們的濾波器長度分別為3和4)，CL4多小波的濾波器系數矩陣[3]為
式中 H0 、H1 、H2 、H3 為低通濾波器系數矩陣;G0 、G1 、G2 、G3 為高通濾波器系數矩陣;下標0、1、2、3表示系數矩陣的次序，與傳統小波的濾波器系數序列相同;S=diag[1,-1] 。
根據多小波的尺度矩陣方程繪出CL4多小波的尺度函數φ1(t)、φ2(t)和小波函數Ψ1(t)、Ψ2(t)的時域波形和頻域響應波形分別如圖1和圖2所示。
與傳統小波相比，CL多小波具有更為優良的屬性：CL多小波的尺度函數和小波函數均具有緊支撐屬性，使其具有良好的局域性;兩個尺度函數分別與兩個小波函數對稱和反對稱，保證其具有線性相位;CL多小波是正交的，使其變換后保持能量衡定;CL3多小波具有二階逼近階，CL4多小波具有三階逼近階，使其具有良好的逼近性能，GHM多小波與CL4多小波相似，濾波器長度均為4，但其逼近階僅為二階。
3 CL多小波的預處理方法
3.1 采用預處理方法的必要性
與傳統小波相比，多小波在實際應用中必須解決的關鍵問題是對原始信號的預處理。預處理的關鍵問題是：①由于多小波的尺度函數和小波函數是多維的，而需處理的信號一般是一維的，必須對所有多小波的原始信號進行預處理;②不同的預處理方法對多小波應用性能的影響非常大，怎樣根據應用需要選擇相應的最優預處理方法是多小波應用的關鍵問題。
如不采用預處理方法，簡單的方法是將一維信號分解為其多相形式
式中 z=ejω 。CL4多小波的低通濾波器響應H1(ω)和H2(ω)分別為
同理可求出其相應的高通濾波器響應G1(ω)和G2(ω)，如圖3所示。
由圖3可見，CL4多小波的低通濾波器和高通濾波器響應均表現出帶通和帶阻兩種不相同的屬性，其他多小波也有類似屬性，這種現象易導致多小波的低通和高通頻帶相互混疊，不利于分解和重構信號，即如不采用有效的預處理方法，多小波不能像傳統小波那樣對信號很好地進行去噪和壓縮等處理。
目前多小波的預處理方法主要分為兩類：預濾波(prefilter)法[8]和采用平衡多小波(balanced multiwavelet)法[9]。
3.2 預濾波法
對于預濾波方法的研究主要集中在GHM多小波的預濾波，本文將文[5]提出的odd/even、deriv.、Haar、mod.Haar預濾波法和文[10]提出的預濾波法應用于CL4多小波。經大量仿真分析后，作者認為采用Haar法可取得較好的濾波效果，圖4為Haar預濾波方法對CL4多小波原有濾波器響應的影響。
由圖4可見，Haar預濾波法在一定程度上改善了CL4多小波兩個低通濾波器和兩個高通濾波器的響應。
3.3 平衡多小波法
多小波低通部分如有不同的頻譜屬性，會使通道不平衡和復雜化矢量化過程，矢量化過程的多相方法產生了混合粗細分辨系數，僅用粗分辨系數重構信號時將產生強烈的振蕩，稱為不平衡現象[9]。消除多小波不平衡現象的方法是構造平衡多小波，主要有兩種構造方法：采用復Daubechies小波系列濾波器構造平衡多小波和平衡已有的不平衡多小波(簡稱平衡法)。
以下采用平衡方法來平衡CL4多小波，平衡算子為
，平衡后CL4多小波的低通和高通濾波器分別為
CL4多小波的低通合成算子LT 和高通合成算子TT 滿足等式
式中 u1=[...,1,1,1,1,...]T ，即矢量 在低通支路 保持不變，在高通支路被取消，這時CL4多小波即是平衡的多小波[9]。圖5為平衡法對CL4多小波原有濾波器響應的影響。
由圖5可見，對CL4多小波采用平衡法不僅可使兩個低通濾波器和兩個高通濾波器的響應分別重合，還可較好地改善系統本身的低通、高通濾波器的響應性能。
4 CL多小波的應用
本文采用不同預處理方法的CL4多小波、GHM多小波和db4小波來實現對數據的壓縮， GHM多小波和db4小波與CL4多小波非常類似，且具有正交性和緊支撐性，濾波器長度均為4。關于傳統小波在電力系統故障數據壓縮中的應用可參見文[11]。
采用電力系統的正弦信號和500kV高壓輸電線路單相接地短路故障相的電壓信號(故障點距輸電線首端的長度與輸電線總長度的百分比分別為2.5%、12.5%、25%、37.5%、50%、75%、87.5%)作為原始信號，采樣點為1024個，分解層數為6層。對CL4多小波采用Haar法和平衡法兩種預處理方法;對GHM多小波采用GHM.init預處理方法(GHM.init是GHM多小波的所有已知預處理方法中綜合效果最好的預處理方法之一);對db4傳統小波采用直接處理采樣點的方法。本文采用保留多小波分解后的若干最大系數的數據壓縮方法。該方法的原理是：對原始信號進行小波尺度的擴展，保留絕對值最大的系數，這種情況下，可僅用全局閾值來壓縮信號，以實現信號的壓縮或相對均方差賦范信號的恢復，該方法可先確定數據的壓縮比。定義信號重構后的賦范均方誤差為
式中 f(n)、
分別為原始信號與恢復信號。 表1為采用該方法時，采用不同多小波對相應信號數據的壓縮結果。
計算出其他故障點信號數據壓縮的賦范誤差、平均誤差和均方差，得到壓縮比為20:1時隨不同故障地點變化的賦范誤差曲線如圖6所示。50%處故障的暫態信號隨不同壓縮比變化的賦范誤差曲線如圖7所示。
由表1、圖6和圖7中壓縮效果參數可知：
(1)GHM多小波及CL多小波對平穩信號(正弦信號)或暫態信號(故障信號)的數據壓縮效果均比db4傳統小波的好;
(2)采用Haar和平衡法預處理方法的CL4多小波的壓縮效果均明顯比采用GHM.init預處理方法的GHM多小波的壓縮效果好;
(3)CL4多小波采用平衡預處理方法時，壓縮效果總體上比Haar預處理方法的好一些。
5 結論
本文介紹和分析了CL多小波及其不同的預處理方法，采用保留分解后若干最大系數的數據壓縮方法，對采用不同預處理方法的CL多小波在故障數據壓縮中的效果與GHM多小波及傳統db4小波進行了比較。綜合各種壓縮性能指標后認為，基于Haar法和平衡法的CL4多小波比基于GHM.init法的GHM多小波壓縮效果優越，更適用于對電力系統信號的數據壓縮。
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