試析在“高等數學”教學中培養學生的數學素養
論文摘要：“高等數學”課程不僅要傳授知識，更要傳授數學的精神、思想和方法，以培養學生的思維能力和數學素養。闡述了數學素養的內涵及培養數學素養的重要性，以及在科學思維、科學方法指導下通過“高等數學”教學培養學生數學素養和創新能力的基本思路。論文關鍵詞：高等數學教學；數學素養；科學思維能力；啟發式教學
數學的許多理論與方法已經廣泛深入地滲透到自然科學和社會科學的各個領域之中。隨著知識經濟時代和信息時代的到來，數學更是“無處不在，無所不用”。數學在各個領域的應用對大專院校的“高等數學”教學提出了更高的要求。“高等數學”是非數學專業的一門重要的專業基礎課，該課程除了使學生收獲到必要的數學知識以外，更重要的是學生能收獲到讓他們終生受益的良好的數學素養和數學思維。只有掌握了正確的科學思維方法和具備了良好的數學素養，才能提高應變能力和創新能力。
一、數學素養的內涵
由經濟合作與發展組織（OECD）領航的國際學生評測計劃（PISA）對數學素養的界定是：數學素養是一種個人能力，能確定并理解數學對社會所起的作用，得出有充分根據的數學判斷和能夠有效地運用數學。這是作為一個有創新精神、關心他人和有思想的公民，適應當前及未來生活所必須的數學能力。
南開大學數學科學學院顧沛先生認為數學素養是通過數學教學賦予學生的一種學數學、用數學、創新數學的修養和品質，也可以叫數學素質。具體包括以下五個方面內容：主動探尋并善于抓住數學問題中的背景和本質的素養；熟練地用準確、嚴格、簡練的數學語言表達自己的數學思想的素養；具有良好的科學態度和創新精神，合理地提出數學猜想、數學概念的素養；提出猜想后以“數學方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的道路的素養；善于對現實世界中的現象和過程進行合理地簡化和量化，建立數學模型的素養。
二、培養數學素養的重要性
數學與人類文明、人類文化有著密切的關系。數學在人類文明的進步和發展中，一直在文化層面上發揮著重要的作用。數學素養是人的文化素養的一個重要方面，而文化素養又是民族素質的重要組成部分。因此，培養學生的數學素養，可以為民族素質的提高和發展創造有利的條件。
培養數學素養還有利于學生適應社會的發展，有利于今后的可持續發展。大多數非數學專業的學生在今后的工作中所需要的數學知識并不多，如果他們畢業后沒什么機會去用數學，那么他們很快就會忘掉在學校所學的那些作為知識的數學，包括具體的數學定理、數學公式和解題方法。對此，日本著名數學教育家米山國藏認為：“不管學生們將來從事什么工作，深深銘刻在心中的數學精神、數學的思維方法，研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻將隨時隨地發生作用，使他們受益終身�！彼�說：“對科學工作者來說，所需要的數學知識，相對的說也是不多的，然而數學的研究精神、數學的發明發現的思想方法、大腦的數學思維訓練，卻是絕對必要的�！庇纱丝梢钥吹�，對學生今后的發展起到最大作用的并非他們在課堂上學到的數學知識，而是在循序漸進的數學學習過程中獲得的數學的精神、科學的思維方法、分析問題的邏輯性、處理問題的條理性、思考問題的嚴密性。這些良好的數學素養對人的發展起著不可或缺的作用。
三、在“高等數學”教學中培養學生數學素養的具體做法
1.重視數學的靈魂——概念和觀念的教學，培養學生善于抓住問題本質的素養
“高等數學”中的很多基本數學概念，如極限、導數、積分和級數等都是從實際應用問題中產生并抽象出來的，數學概念的提出和完善過程最能反映抽象思維的過程。而且只有深入分析并透徹理解數學概念才能指導學生將其應用于解決其他相關問題，從而提高應用能力。如果將教學的重心放到解題方法和解題技巧上，而忽略了真正的靈魂——概念和觀念的教學就是本末倒置了。從美國優秀微積分教材中對概念的闡述及美國AP（Advanced Placement）微積分計劃中受到啟發，對重要概念的教學進行了改革。例如，在導數概念的引入過程中增加一些有趣的新穎的例子，讓學生體會從實際問題中抽象出數學概念的方法。同時在課外練習中增加很多概念理解型的題目，幫助學生深刻理解導數概念的本質；在引入偏導數和全微分概念的時候，通過實例引導學生思考如何能在一元函數導數和微分的定義基礎上進行相應地修改或做一定的變化得到多元函數的類似概念；講授微分概念時，著重強調以直線段代曲線段、以線性函數代非線性函數的思想。另外，還簡單地介紹離散化、隨機化、線性化、迭代、逼近、擬合及變量代換等重要的數學方法，讓有興趣的學生課后查找資料深入學習。這樣做可以讓學生學會解決實際問題的根本方法即抓住問題的本質，并在探究的過程中體會到樂趣和成就感，同時培養學生抽象的能力，聯想的能力以及學習新知識的能力，有利于提高學生的數學素養。
2.在課堂教學中滲透數學史，讓學生感受數學精神、感受數學美
現代數學的體系猶如“茂密的森林”，容易使人身陷迷津，而數學史的作用正是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。數學的發展歷史中，包含了許多數學家無窮的創造力。很多數學問題并非靠邏輯推理就能一步步解決的，而是起源于某種直覺，某種創造性構建，甚至把許多表面不相關的東西牽連在一起思考，然后再通過嚴密的邏輯推導過程來完善它。如果在課堂上適時適當地引用數學史的知識作為補充和指導，不但可以活躍課堂氣氛，還可以激發學生的學習興趣。比如在講授微積分的內容時介紹它是人類數學史上的重大發現，介紹牛頓-萊布尼茲定理產生的歷史背景；在講授解析幾何時，將笛卡爾引入坐標方法用方程表示曲線并創立解析幾何的思維過程展現給學生，使學生明白學習解析幾何的意義。通過數學史可以了解知識的邏輯源頭，理解數學概念、結論產生的背景和逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想，體驗尋找真理和發現真理的方法，體會數學家的創造性，有利于培養學生的創新能力。另一方面，數學的發展并非一帆風順的，數學史是數學家們克服困難和戰勝危機的斗爭記錄，是蘊涵了豐富數學思想的歷史。了解數學史的同時會為數學家們的科學態度和執著追求的精神而感動，這是能夠引領學生一生的精神食糧。除此之外，數學無論是在內容上還是在方法上都具有自身的美。數學之美體現在多個方面，如微積分的符號集中體現了數學的簡潔美，眾多微積分公式體現了數學的對稱性和協調性，線性微分方程解的結構體現了數學的和諧美。在講授“高等數學”的時候引導學生欣賞數學的美，則數學的學習將不再枯燥，學生的審美情趣也會在對美的享受過程中逐步提升。 3.采用啟發式和研究式教學，提高學生的思維能力
選擇適當的內容，有針對性地安排討論課，精心設計討論的問題，讓學生各抒己見，可以極大地激發他們求知和創新的欲望，培養了學生的創新思維和創新意識。例如，選擇微分中值定理進行討論，這部分內容理論性強，對初學者來說短時間內較難理解。選取一些典型的難度適當的習題，讓學生認真思考后自由討論。通過討論學生不僅對構造輔助函數的方法有了深刻的印象，而且加深了對抽象數學理論的理解，同時還鍛煉了數學語言的表達能力，培養了邏輯推理能力，增強了學生主動參與課堂的意識和創新的意識。又如，在高階線性微分方程的教學中，從一階線性微分方程解的結構入手，引導學生做大膽的猜想，并嘗試對猜想的結論進行分析和論證；接著再從最簡單的二階常系數齊次微分方程和開始，引導學生通過觀察找到方程的通解，然后再引導學生嘗試如何得到一般的二階常系數齊次微分方程的通解；如此逐步發現這類方程的通解形式實際上是由特征方程的根決定的，最后歸納出求解二階常系數齊次微分方程的特征方程法，并將此方法和換元降階的方法對比，討論用哪種方法求解更好。采用啟發式和研究式相結合的教學方法使學生更樂于積極地思考問題，并從中體會到發現的快樂，激發了學生的學習熱情及研究興趣，也培養了學生分析問題解決問題的能力。
4.在“高等數學”教學中滲透數學建模思想，培養學生應用數學的意識和創新意識
數學建模是將數學思想與方法應用到解決實際問題中的有效途徑，是培養學生分析問題解決問題的能力、靈活運用數學知識處理實際問題的能力，是激發學習興趣、增強協作意識、培養創新能力的最佳手段。建立數學模型是數學活動中最具有開創性的工作。在各種數學新領域的開辟工作中，建立數學模型起到了奠定基礎、勾畫藍圖、提出新思想、新方法的作用。運用數學理論解決實際問題也具有較強的創新性。要解決一個問題首先要判斷它是否為數學問題，其次要將問題數學化，然后才能運用數學理論來解答它。實際上，在“高等數學”課程中就有很多數學建模的實例。如，由LRC串聯電路建立二階常系數線性微分方程，為了求流體的流量而引入對坐標的曲面積分，根據條件建立目標函數求最大值和最小值等。在教學中對這些例子加以剖析，滲透數學建模的概念，可以使學生對數學建模有一個初步的認識。即將具體問題簡化、一般化，從而得出問題原型的一個數學化的抽象，就是數學模型。換言之，模型是對原型的抽象，而使用數學語言將原型抽象化的結果，就是數學模型。為了配合后繼數學建模課程的教學和數學建模競賽，在“高等數學”教學中增加了一定學時的數學實驗，結合具體實例讓學生學會利用計算機的繪圖和計算功能作出圖形或計算出結果，使學生對相關概念或結論獲得較直觀的認識，既減輕了學生在接受和理解抽象知識上的困難，也為后期的建模打下基礎。
數學來源于實踐并應用于實踐，在“高等數學”教學中滲透數學建模思想可以使學生充分認識到數學的應用價值，培養學生的應用意識和創新意識，對于發展學生的數學思維也是非常重要的。
四、結束語
數學的應用是時時存在，處處存在的，數學的影響是潛移默化的。數學的精神、思想和方法是數學教育的根本目的之所在�！案叩葦祵W”課程是培養非數學專業大學生數學素養的重要載體。在“高等數學”的教學中要把培養和提高學生的數學素養放在重要的位置，不斷地尋找有效的手段使學生在學習數學知識的過程中理解數學的精神、思想、觀念和意識等；能夠靈活地運用數學的思想方法，掌握正確的學習方法、工作方法和思想方法，弘揚數學研究中的科學精神；能夠認識和欣賞數學的美。數學素養的養成不是一朝一夕的，在教學中務必要堅持注重培養學生科學思維的品質，讓數學素養能夠在每一個學生身上沉淀和積累，為他們今后的可持續發展奠定堅實的基礎。
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