四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數學猜想之一。四色定理是一個著名的數學定理，通俗的說法是：每個平面地圖都可以只用四種顏色來染色，而且沒有兩個鄰接的區域顏色相同。1976年借助電子計算機證明了四色問題，問題也終于成為定理，這是第一個借助計算機證明的定理。四色定理的本質就是在平面或者球面無法構造五個或者五個以上兩兩相連的區域。
問題的提出
1852年，畢業于倫敦大學的格斯里(FrancisGuthrie)來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色著色。這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢?他和他正在讀大學的弟弟決心試一試，但是稿紙已經堆了一大疊，研究工作卻是沒有任何進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數學家哈密頓爵士請教，但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題，世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。
從此，這個問題在一些人中間傳來傳去，當時，三等分角和化圓為方問題已在社會上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地傳播開來了。
四色原理的一種邏輯證明
地圖上任何一個區域必將存在鄰域，且又通過鄰域與其他非鄰域發生間接聯系，我們可以將任何一個地圖以圖論圖形的表示出來。
假設存在一張至少需要m種著色的地圖，那么決定該地圖必須要用m種著色的條件有且只有一個，即該地圖至少存在這樣一個區域Q，與該區域相鄰的所有區域必須滿足m-1著色。首先滿足這個條件后，Q只能用第m種顏色，其次如果這個推論一是錯誤的，對于m著色地圖不存在這樣的區域，那么地圖上任何一個區域的鄰域只能滿足少于m-1的著色，那么整個地圖勢必不需要m中顏色，這與假設相矛盾，所以這是一個充分必要條件。(推論一)
假設隨意取一張任意結構的至少m著色的地圖M，其上滿足上述條件的區域有n個，那么將圖論圖形中的這n個區域及其與鄰域的關系線我們可以全部去掉，這樣我們就將構建一個至少m著色地圖M的問題轉化成了一個在至少需要m-1著色地圖上添加n個滿足推論一條件的區域問題。
如果五著色地圖存在且能構建成功，那么必然存在構建這樣五著色的四著色模型圖，而要存在這樣的四著色模型圖必然存在構建該四著色的三著色模型圖，同理要存在這樣的三著色模型圖必然要存在構建它的二著色模型圖，那么我們來構建一下五色圖是否存在：
二著色地圖是由一著色而來的一種簡單的著色地圖模型，我們很容易得到滿足二著色的地圖僅有的兩種類型的結構，一種是不閉合的鏈狀結構，如圖一;另一種是由第一種衍生出來的閉合的環狀結構且環所聯系的區域為偶數個，稱為偶數環，如圖二。
我們看下二著色結構特點發現，圖一圖二都是一個原理就是奇偶位置決定著色，任何兩個區域的任何聯系鏈條只有相隔偶數個區域才滿足兩區域著色不同，我們定義這兩個區域為偶隔域。
我們隨意取一張任意結構的二著色的地圖M，來構建一個具有n個滿足推論一條件區域的地圖Q，構建方式有且只有一個，就是在圖論圖形中我們如何去掉的這n個區域及其與鄰域的關系線，我們接怎么給它添加回去。我們任取這n個區域中一個區域q為例，只要我們在M地圖上將必須滿足二著色的幾個區域W直接聯系到q上，這樣就滿足推論一中的條件而使Q必須為三著色。而W要滿足二著色則必定含有偶隔域，如果W有x個區域和q發生直接聯系，則q上出去的關系線有x個，那么我們一定可以將該復雜的聯系分解成x-1個不可分解關系環，其中至少有一個不可再分的關系環是M中的偶隔域與q聯系的，(推論二)假設這個推論是錯誤的，所有不可再分的環全部是奇隔域，那么這些環拼接回去時滿足每個小環的間隔區域數相加再減去共用的區域，仍舊是奇隔域，這樣W便不滿足二著色，所以這些不可再分環中一定有偶隔域和q發生聯系而構成奇數環(環連的區域為奇數)，并且導致q必須使用第三色的就是這些不可再分的奇數環。由于滿足二著色的只有偶隔域一種條件，那么構造的三著色地圖中決定三著色的條件也只有一種，存在不可再分的奇數環。
在上面構建的三色著色地圖Q基礎上我們再來構建四著色地圖P，假如P存在滿足推論一條件的區域有k個，同樣的方法，我們任取k中一個區域p，只要我們在Q地圖上將必須滿足三著色的幾個區域R直接聯系到q上，這樣就滿足推論一中的條件而使P必須為四著色。而R要滿足三著色則必定含有奇數環并且組成奇數環的區域都能夠與p發生聯系(保證奇數環沒有被包圍在其他閉合環內的部分)，如果R有y個區域和p發生直接聯系，則p上出去的關系線有y個，那么導致p為第四色原因是可發生聯系的奇數環，既只要有一個這樣的奇數環存在就一定會導致p使用第四色(推論三)，假設這一推論不成立那么沒有這樣的奇數環存在，則由前面二著色建立三著色正經得到，除了奇數環再沒有能使地圖為三著色的條件了，或者當奇數環區域不能全部與p發生聯系，這樣p必然的不需要第四色了。故我們的推論三成立。由于三著色條件唯一而使得p四著色的條件唯一，我們來看四著色條件的特點，當p與R發生聯系后，不管R有多少滿足條件的奇數環，勢必最終只能有包括p在內的三個區域能與外界區域發生聯系。因為p和R上的任何兩個區域都可以構成一個封閉的三角形，而當我們選的R上這倆區域與p關系線是最外側的關系線時，則R上其他區域一定不能在三角形外，不然或造成以上兩根關系線不再是最外側或者有關系線出現交叉，所以R上剩余區域必定在三角形內而造成四著色圖最多只有三個區域能與外界發生聯系。
那么我們在構建五著色地圖時，四著色結構最多提供三種不同著色，不能滿足推論一的條件，而決定將無法構建五著色地圖。
四色問題的簡單幾何圖形證明如下(對錯不保證，如果方法錯誤請刪除以下內容)
0 這個證明是一個近似的證明。
1 對于二維平面，用無限分割三邊形來證明。(必須)
2 為了方便說明，所有三邊形為相同大小的等邊三角形為例。(并非必須)
3 因為等邊三角形最多只有三個邊，最多只能與三個相同的等邊三角形接壤，算上自己最多就是四種顏色復雜度，也不可能出現第五種!
4 而地圖上各個國家的邊界就是這些三角形邊的近似組成，而領土就是這些三角形的近似拼合。這些三角形同樣具備上述顏色屬性。
a 類似的證明方法還有采用無限等邊多邊形分割等腰三角形的圓周率計算。
b 也有采用無限四邊形矩陣組合成的計算機屏幕上的像素，這些像素可以組合成任意幾何圖形。(圓的，方的，三角的，最好是矢量圖。)