培養(yǎng)數(shù)學思維方法的論文
一,數(shù)學方法的培養(yǎng)
如何加強數(shù)學方法的培養(yǎng),我認為應(yīng)做到以下幾點:
(一)教師從思想上重視數(shù)學方法的培養(yǎng).
在備課時把它與數(shù)學知識一同納入教學目的,既要注意數(shù)學知識的學習,又要注意數(shù)學方法的培養(yǎng).數(shù)學知識,如概念,定理,公式,都明顯地寫在教科書上,不會被人忽視,而數(shù)學方法是無形的東西,容易被忽視.這就需要教師在備課時注意有關(guān)的數(shù)學方法,留意從知識中發(fā)掘,提煉出數(shù)學方法并明確地告訴學生,闡述方法的作用,引起學生思想上的重視.
例如在講到函數(shù)應(yīng)用時,教師不能只滿足教學生解出題目結(jié)果,而應(yīng)在解題中教給學生建立數(shù)學模型的方法及其目的,意義,并在整個解題過程中培養(yǎng)學生的分析,綜合,比較,抽象,洞察等多項能力.我們來看下面一道例題.
【例1】某人有5000元存入銀行,準備x年后才取出使用.它有兩種方式可供選用
(1)存x年期定期儲蓄,當時年利率6.66%,單利計息.
(2)一年期定期儲蓄,當時年利率5.22%,到期把利息轉(zhuǎn)入本金一并續(xù)存,這樣反復(fù)進行,x年后結(jié)算,即復(fù)利計息(假定x年內(nèi)利率不變).
試比較哪種方法在x年后結(jié)算時的本利和要高并求出5年后的本利和.
解:從本題可以看出隨著年數(shù)的增加,本利和也將不斷增加,這樣就確定了一種函數(shù)的關(guān)系,即:年數(shù)是自變量,本利和是因變量.
我們設(shè)年數(shù)為x,設(shè)本利和為y.
(1)本金5000元,單利計息x年后的本利和:
y=5000(1+6.66%x)
(2)復(fù)利計息各年本利和分別為:
x年后的本利和為:.
這種對實際問題舍去其具體內(nèi)容,從中抽象出數(shù)量關(guān)系的方法就屬于"建立數(shù)學模型"的方法.其中(1)建立的數(shù)學模型為一次函數(shù)模型;(2)建立的數(shù)學模型為指數(shù)函數(shù)模型.這樣再解決x年后的本利和的計算問題就十分清楚了.
我們要將兩種計息方法進行比較,分別計算5年后的本利和:
當x=5時,代入一次函數(shù)中,y=6665(元).
當x=5時,代入指數(shù)函數(shù)中,y=6448.54(元).
分析比較結(jié)果發(fā)現(xiàn),單利計息的本利和要高出復(fù)利計息的本利和.這樣,我們又通過不同的數(shù)學模型對現(xiàn)實的問題進行了解釋,達到了解決問題的目的.
最后給出學生解決此類問題的方法,以此題為例,解決單利,復(fù)利計息問題的思路框圖是:
數(shù)學抽象
(轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題)
數(shù)學證明
實際解釋
(返回)
又如下題:
求:
解:要消去被積函數(shù)中的根式,可以利用三角公式:
設(shè),
那么
于是,通過變量代換可將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成變量t的表達式,即
=
由于所以
利用輔助直角三角形,可得,
所以,
恒等變換不僅在初等數(shù)學中有重要作用,在高等數(shù)學中也有重要意義.在解題中逐漸滲透恒等變換的數(shù)學方法,使學生掌握將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化成簡單的問題,將難的問題通過變換轉(zhuǎn)化成容易的問題的數(shù)學方法.而冪級數(shù)變換,拉普拉斯變換等也都是符合這種基本思想方法的.
在教學過程中,每當遇到這類情形時,教師就應(yīng)盡力提煉出解決的思想實質(zhì),不失時機地告訴學生,使其思路開闊,胸懷全局,不把眼光只局限于枝節(jié)的,具體的變換技巧和運算過程.
數(shù)學方法不只是證題的技巧性的方法,還要留意那些思考問題的帶有一般性的認識論的方法.例如,從特殊到一般,先具體后抽象,先簡單后復(fù)雜,局部與整體相連系等,把這些思想貫穿于日常的教學中,使其日漸熏陶,理解體會.這樣,就會逐漸使學生能站在較高的地位上考慮問題.
(二)在解題的過程中多采用對比的手法以顯示方法的優(yōu)越性.
對比最具說服力,能明顯地顯示出一種巧妙方法地優(yōu)越性,并能給學生思想上留下較深的記憶痕跡.
例如:證明,對于任意的正數(shù)x,y,z,總有
證明:如果直接去證則難度較大.但若用換元法,令
則原題變?yōu)?"如果a+b+c=0,則ab+bc+ca"
由于,所以
從而使原題得證.
又如:求拋物線上與焦點的距離等于6的點的坐標.
解:對此題,大部分學生會想到設(shè)點的坐標為(x,y),據(jù)題意列出一個二元二次方程組,在去解出x,y的值.這樣做運算復(fù)雜,容易出錯.如果應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想方法,借助于拋物線的圖象,在根據(jù)拋物線的定義,就會想到拋物線上任意點到焦點的距離與它到準線的距離相等,這樣,就得到所求點的橫坐標為,再代入拋物線方程,這樣就可以求出縱坐標為,則這個點的坐標為.
通過解題方法的對比,可起到示范的作用,使學生看到靈活運用適當?shù)臄?shù)學方法的優(yōu)越性,從而引起自覺的注意.同時,教師應(yīng)當引導(dǎo)學生進行回憶,一方面可以顯示方法的作用,另一方面更可使其從聯(lián)系,對比中學會更靈活地運用這種方法.
(三)對不同類型的數(shù)學方法應(yīng)有不同的教學要求并采用不同的教學方法.
對邏輯性的數(shù)學方法,應(yīng)著重講清邏輯結(jié)構(gòu),要求正確使用邏輯推理形式;對容易混淆的地方,如某些命題的否定,某些命題成立的充分條件,必要條件的表述與判定,要反復(fù)強調(diào),并用通俗的例子來闡述;對技巧性的數(shù)學方法,則應(yīng)注重培養(yǎng)運用方法的技巧,注意擴大應(yīng)用方法的范圍;對宏觀的數(shù)學方法,如坐標方法,公理方法,應(yīng)著重理解其思想實質(zhì),認識到它們的重要作用.
(四)注意各種數(shù)學方法的綜合運用.
一道較復(fù)雜的數(shù)學問題,常需在解決的不同階段使用不同的數(shù)學方法,各種方法的綜合運用,有利于數(shù)學能力的提高.
例如:證明
此題使用了放縮法和裂項法.象這樣聯(lián)合使用多種的數(shù)學方法,不但會起到鞏固,熟練使用方法的作用,更重要的是培養(yǎng)了學生的數(shù)學能力.
二,數(shù)學思維的培養(yǎng)
數(shù)學方法在教學中經(jīng)常用到,學生易于接受,而數(shù)學思維是一個比較抽象的概念,下面我們來了解以下有關(guān)數(shù)學思維的知識.
(一)數(shù)學思維及其性質(zhì)
1,數(shù)學思維
思維是人的理性認識過程.所謂數(shù)學思維,是指人關(guān)于數(shù)學對象的理性認識過程,廣義可理解為,包括應(yīng)用數(shù)學工具解決各種實際問題的思考過程.
數(shù)學思維與其他思維的區(qū)別在于數(shù)學科學研究的對象及數(shù)學科學的研究方法.數(shù)學研究的對象是數(shù)量關(guān)系與空間形式,而把事物的其他屬性看作是無足輕重的.數(shù)量關(guān)系是抽象,概括的產(chǎn)物.數(shù)學所討論的空間形式也是以現(xiàn)實對象為基礎(chǔ)加以理想化的結(jié)果.更深一步,人們還可以脫離開具體的幾何形象,只是從它們的相互關(guān)系極其性質(zhì)中去認識空間形式.
2,創(chuàng)造性數(shù)學思維
所謂創(chuàng)造性思維,是指思維的結(jié)果或處理問題的方法帶有新穎性,獨特性.這種思維并非一開始就建立在嚴格的邏輯論證之上.
從思維過程的狀態(tài)來看,創(chuàng)造性思維從總體上總是表現(xiàn)為:
發(fā)散以便于聯(lián)想,尋找各種知識組塊之間的可能的組合,發(fā)現(xiàn)推理的起點.收斂以便于集中思考,驗證由發(fā)散思維所得到的方案的可行性,對其補充,修正或提出新的方案.
3,數(shù)學思維的性質(zhì)
(1)抽象性.數(shù)學思維的抽象性,是指數(shù)學思維的對象與方法而言的.數(shù)學思維的'對象是事物之間的數(shù)量關(guān)系或理想化了的空間形式,而它們又不是停留在一次抽象的結(jié)果上,通常都是經(jīng)過多次抽象而形成,呈現(xiàn)為形式化的東西.要認識這些形式化的東西,只有在與別的已經(jīng)形式化的東西的聯(lián)系中去認識.數(shù)學思維的方法在很大程度上是實現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)化,用新的等價形式或更強的形式代替原有形式,而這些轉(zhuǎn)化出的形式又要是已掌握的形式.正是基于這兩種原因,使數(shù)學思維抽象化.
(2)嚴謹性.數(shù)學思維的嚴謹性是指思維的依據(jù)而言.
(3)統(tǒng)一性.數(shù)學思維的統(tǒng)一性是指思維的宏觀發(fā)展方向而言的.數(shù)學科學的研究,總是謀求用統(tǒng)一的理論概括零碎的事實,這樣既便于簡化研究,又能洞察到事物或現(xiàn)象的本質(zhì).例如:線型算子把微分,積分及各種線性運算統(tǒng)一起來.
(二)數(shù)學思維的培養(yǎng)
既然數(shù)學知識是數(shù)學思維活動升華的結(jié)果,那么,整個數(shù)學教學過程就是數(shù)學思維活動的過程.因此,如何通過數(shù)學教學自覺地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維就成為值得探討的重要課題.
1,通過概念的教學培養(yǎng)數(shù)學思維.
數(shù)學概念的教學,首先要認識概念引入的必要性,創(chuàng)設(shè)思維情境及對感性材料進行分析,抽象,概括.此時,如果教師能結(jié)合有關(guān)數(shù)學史談其必要性,將是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的大好時機.比如,為什么將實數(shù)域擴充到復(fù)數(shù)域,擴充的辦法為什么是這樣,這樣做的合理性在什么地方,又是如何想出來的等等.也就是說,數(shù)學概念教學的任務(wù),不僅要解決"是什么"的問題,更重要的是"是怎樣想到的"問題,以及有了這個概念之后,在此基礎(chǔ)上又是如何建立和發(fā)展理論的問題.即首先要將概念的來龍去脈和歷史背景講清楚.其次,就是對概念的理解過程.這一過程是復(fù)雜的數(shù)學思維活動的過程.教師不僅應(yīng)激發(fā)學生的學習動機,還要進一步引導(dǎo)學生對概念的定義的結(jié)構(gòu)進行分析,明確概念的內(nèi)涵和外延,在此基礎(chǔ)上再啟發(fā)學生歸納概括出幾條基本性質(zhì),應(yīng)用范圍以及利用概念進行判斷等.總之,要從概念的形成過程中,既培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的思維能力,又使他們學到科學的研究方法.
綜上所述,數(shù)學概念的教學,從引入,理解,深化,應(yīng)用等各個階段都伴隨著重要的創(chuàng)造性思維活動過程,因此都能達到培養(yǎng)學生數(shù)學思維的目的.
2,在數(shù)學定理的證明過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維
數(shù)學定理的證明過程就是尋求,發(fā)現(xiàn)和做出證明的思維過程.數(shù)學定理,公式反映了數(shù)學對象的屬性之間的關(guān)系.關(guān)于這些關(guān)系的認識,一方面,要盡量創(chuàng)造條件,從感性認識和學生的已有知識入手,以調(diào)動學生學習定理,公式的積極性,讓學生了解定理,公式的形成過程,并要設(shè)法使學生體會到尋求真理的樂趣.另一方面,定理一般是在觀察的基礎(chǔ)上,通過分析,比較,歸納,類比,想象,概括成抽象的命題.這是一個思考,估計,猜想的思維過程.定理的結(jié)論最好由教師引導(dǎo)學生獨立完成,這樣既有利于學生創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練,也有利于學生分清定理的條件和結(jié)論,從而對進一步做出嚴格的論證奠定基礎(chǔ).
定理和公式的證明是數(shù)學教學的重點,因為它承擔著雙重任務(wù),一是它的證明方法一般具有典型性,學生掌握了這些方法后可達到舉一反三的目的,二是通過定理的證明發(fā)展了學生的創(chuàng)造性思維.
綜上所述,只有強化數(shù)學思維和數(shù)學方法的培養(yǎng),才有利于提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力,有利于激發(fā)學生的學習興趣,有利于提高學生的學習積極性和自覺性,更好地達到和完成學校教育的任務(wù).
參考數(shù)目:
徐利治:《數(shù)學方法論選講》,華中工學院出版社.
錢學森:《關(guān)于思維科學》,上海人民出版社.
數(shù)學模型:函數(shù).
一次函數(shù)與指數(shù)
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