圓周率
數量的學習起于數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的有理和無理數。
另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之后對無限的另外一種概念：阿列夫數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，得出精確到小數點后兩位的π值。數學家劉徽在注釋《九章算術》時用割圓術求得π的近似值。得出π=√10
∏數學家、天文學家祖沖之通過艱苦的努力，他在世界數學史上第一次將圓周率(∏)值計算到小數點后七位，即3.1415926到3.1415927之間。
π是一個無限不循環小數，也是一個無理數，是一個超越數。
結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討于群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，并研究于線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
空間
空間的研究源自于幾何-尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有非常著名的勾股定理�，F今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。
基礎
為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托(Georg Cantor，1845-1918)首創集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以后的數學發展作出了不可估量的貢獻�？低械墓ぷ鹘o數學發展帶來了一場革命。由于他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，龐加萊也把集合論比作有趣的“病理情形”，龐加萊還擊康托是“神經質”，“走進了超越數的地獄”。對于這些非難和指責，康托仍充滿信心，他說：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳”。
集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家希爾伯特在德國傳播了康托的思想，把他稱為“數學家的樂園”和“數學思想最驚人的產物”。英國哲學家羅素把康托的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。
邏輯
數學邏輯專注在將數學置于一堅固的公理架構上，并研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實定理�，F代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關聯性。
符號
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。
我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀后才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序�，F今的符號使得數學對于專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
嚴謹
數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。現在，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。因為時代的差別、也抹去了不少知識、但是數學永不磨滅、永遠流傳智慧。